¿Por qué son necesarios los estados coherentes para definir la integral de trayectoria fermiónica?

Estoy siguiendo la discusión de las integrales de ruta fermiónica y las variables de Grassmann en QFT para el aficionado superdotado (cap. 28). Define un estado coherente para los fermiones.$\rvert \eta \rangle$como

$$\begin{align} \rvert \eta \rangle &= e^{-\eta \hat{c}^\dagger} \rvert 0 \rangle \\ &= \rvert 0 \rangle - \eta \rvert 1 \rangle \end{align}$$ dónde $\hat{c}^{\dagger}$es el operador de creación de fermiones y $\eta$es un número de Grassmann.
Veo cómo este es un estado coherente, ya que $$\hat{c}\rvert \eta \rangle = \eta \rvert \eta \rangle.$$

Luego, en la siguiente sección, 28.3 The Path Integral for Fermions, el libro escribe:

Empezamos evaluando la integral gaussiana para estados coherentes

$$\int d\eta d\bar{\eta}e^{\bar{\eta}a\eta} = \int d\eta d\bar{\eta}\left( 1+ \bar{\eta}a\eta \right) =\int d\eta a\eta = a$$ Esto se traslada al caso de vectores con valores de Grassmann (componente N) $\boldsymbol{\eta} = \left(\eta_1,\eta_2,...,\eta_N \right)$y $\bar{\boldsymbol{\eta}} = \left( \bar{\eta}_1,\bar{\eta}_2,...,\bar{\eta}_N \right)$y encontramos que para una matriz $\boldsymbol{A}$: $$\int d^N\eta d^N\bar{\eta}e^{ \bar{\boldsymbol{\eta}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{\eta}} = det\boldsymbol{A},$$ dónde $d^N\eta d^N\bar{\eta} = d\eta_1 d\bar{\eta}_1 \cdot\cdot\cdot d\eta_N d\bar{\eta}_N$

No estoy seguro de cómo lo anterior solo se aplica a estados coherentes, pensé que funcionaría para cualquier conjunto de variables de Grassmann.

Luego, el libro hace un cálculo para una integral gaussiana y encuentra que el generador funcional para fermiones es

$$Z\left[ \bar{\eta},\eta \right] = \int \mathcal{D}\psi \mathcal{D}\bar{\psi} e^{ i \int d^4x \left[ \mathcal{L}\left( \bar{\psi},\psi \right) + \bar{\eta}(x)\psi(x)+\eta(x)\bar{\psi}(x) \right] }$$

Lo que me gustaría saber es, ¿cuánto de esto depende del hecho de que estamos (supuestamente) usando estados coherentes? Sospecho que implica el hecho de que la identidad puede ser representada por

$$1 = \int d\eta d\bar{\eta} e^{\bar{\eta}\eta} \rvert \bar{\eta} \rangle \langle \eta \lvert \quad = \quad \rvert 0 \rangle \langle 0 \lvert + \rvert 1 \rangle \langle 1 \lvert$$ (este es uno de los problemas al final del capítulo) y tal vez esto esté involucrado en la derivación de la generación funcional, y el libro simplemente no describe ese paso.