Derivación del principio de acción de Schwinger a partir de la ecuación de Heisenberg y CCR: ¿por qué funciona con variaciones de Antitrabajo?

En el Libro "Teoría cuántica de campos I" de Manoukian, en la sección 4.3, por lo que entendí, derivó el principio de acción cuántica de Schwinger solo mediante el uso de la evolución temporal unitaria de los Operadores de campo. Al menos supongo que será así, porque para la prueba miró a los operadores de campos.$\hat{\Phi}(x)$(que obedecen a una evolución temporal unitaria generada por$\hat{H}$, y definió un campo$\Pi$que se supone genera variaciones de$\hat{\Phi}(x)$y en qué tiempo se supone que la evolución es la misma. Siendo las variaciones simplemente números c, que son proporcionales a la unidad, deriva el principio de variación de Schwinger.

En resumen: afirma que cualquier variación infinitesimal de campos$\Phi(\vec{x}) \rightarrow \Phi(\vec{x}) + \delta \Phi(\vec{x})$(dónde$\delta \Phi(\vec{x})$es un número c) se puede escribir con un generador

$$G(t) = \int d^3\vec{x} \delta \Phi(x) \Pi(\vec{x})$$ Con $\Pi$siendo el momento canónico del campo. Cabe señalar explícitamente que la prueba solo usa variaciones de números c (que traduzco como " $\delta \Phi$es un número complejo ordinario). El autor luego muestra que puedes escribir $$\frac{d}{dt} G(t) = \int d^3\vec{x} \delta ( \dot{\hat{\Phi}} \hat{\Pi} - \mathscr{H}(\hat{\Phi}, \hat{\Pi}))$$ Y el siguiente es el principio variacional: $$G(t_2) - G(t_1) = \delta \int d^3\vec{x} dt ( \dot{\hat{\Phi}} \hat{\Pi} - \mathscr{H}(\hat{\Phi}, \hat{\Pi}))$$ Para ser más específico (Manoukian no escribe los pasos así, solo asumo que son así, con el "generador de la variación completa" siendo " $\delta \Phi \hat{\Pi} - \delta \Pi \hat{\Phi}$. Denoté a los operadores con un sombrero para separarlos de las variaciones numéricas: $$\int d^3\vec{x} \delta ( \dot{\hat{\Phi}} \hat{\Pi} - \mathscr{H}(\hat{\Phi}, \hat{\Pi})) = \int d^3\vec{x} \dot{(\delta \Phi )} \hat{\Pi} + \hat{\dot{\Phi}} \delta \Pi - \frac{i}{\hbar}[\delta \Phi \hat{\Pi} - \delta \Pi \hat{\Phi}, \mathscr{H}] = \int d^3\vec{x} \dot{(\delta \Phi )} \hat{\Pi} + \hat{\dot{\Phi}} \delta \Pi + \delta \Phi \hat{\dot{\Pi}} - \delta \Pi \hat{\dot{\Phi}} = \int d^3\vec{x} \dot{(\delta \Phi )} \hat{\Pi} + \delta \Phi \hat{\dot{\Pi}} = \frac{d}{dt} \int d^3\vec{x} \delta \Phi \hat{\Pi}$$ Dónde $\delta$es una variación simultánea de los campos Y los momentos canónicos. Esta prueba usa que $\delta \Phi$es solo un número c, ya que la segunda igualdad usa eso $\delta \Phi$y $\delta \Pi$simplemente se puede sacar del conmutador. Sin embargo, más adelante, el autor habla sobre el uso de variables grassmann como variaciones de campo, lo que conduce a anticonmutadores en lugar de conmutadores para el campo. Mi pregunta aquí sería: ¿ Por qué también podemos usar variaciones variables de Grassmann, sin romper la derivación aquí ?

Para hacerlo más explícito: ¿Por qué

$$\mathscr{H}(\hat{\Phi}+ \delta \Phi, \hat{\Pi} + \delta \Pi) - \mathscr{H}(\hat{\Phi}, \hat{\Pi}) = \hat{\dot{\Phi}} \delta \Pi + \delta \Phi \hat{\dot{\Pi}}$$ mantener, incluso si la variación no es conmutar, sino anticonmutar?