Derivada funcional para la misma función expresada antes y después de la rotación de Wick

En última instancia, es una cuestión de convenciones, pero aquí hay una línea de razonamiento:

1. Existen dos tipos de medidas reales de integración$d^nx$: un sin firmar (firmado), que se transforma bajo cambio de coordenadas con (sin) un valor absoluto$|\cdot|$del factor jacobiano , respectivamente. Consideraremos esto último, ya que, naturalmente, esto se puede continuar en coordenadas complejas, como se necesita para una rotación de mecha .

2. El producto$d^nx~\frac{\delta}{\delta \phi(x)}$permanece invariante bajo transformaciones de coordenadas$x\to x^{\prime}$. Entonces, dado que el factor de medida integral$d^nx$transforma con un factor jacobiano (sin valor absoluto), la derivada funcional $\frac{\delta}{\delta \phi(x)}$se transforma con un factor jacobiano inverso.

3. El razonamiento anterior sugiere que se debe asignar$^1$

   $$x^0_E~=~ix^0_M, \qquad d^nx_E~=~i d^nx_M, \qquad \frac{\delta^M}{\delta \phi(x)}~=~i\frac{\delta^E}{\delta \phi(x)}.$$

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$^1$Tenga en cuenta que adicional$i$-Pueden surgir factores para objetos que se transforman de manera no trivial bajo la rotación de Wick. Por ejemplo, la densidad lagrangiana se transforma como una derivada de tiempo doble:${\cal L}_M~=~i^2{\cal L}_E$.

La respuesta en realidad permanece sin cambios. Todavía estás tomando derivada funcional con respecto al mismo punto. Si vuelves a consultar la definición de derivada funcional, como la de Wikipedia, verás que lo que importa es el coeficiente.