Velocidad angular y ángulo de inclinación

Para entender de dónde viene la ecuación de la aceleración, primero dibuje el diagrama de cuerpo libre de un asiento. En el siguiente diagrama,$\theta$es el ángulo de desplazamiento,$G = mg$es el peso corporal y$T$es la tensión (tracción) ejercida por la cuerda.

En equilibrio, el asiento no se mueve en dirección vertical. La primera ley de Newton para la componente vertical es:

$$G - T \cos \theta = 0$$

que es igual a:

$$T = \frac{mg}{\cos \theta} \tag 1$$

Sin embargo, hay movimiento en dirección horizontal ( movimiento circular ). La segunda ley de Newton para la componente horizontal es:

$$T \sin \theta = m a \tag 2$$

dónde$a$es la aceleración hacia el centro de rotación ( aceleración centrípeta ).

Combinando las Ecs. (1) y (2) obtenemos

$$\tan \theta = \frac{a}{g} \tag 3$$

Para el movimiento circular, la aceleración centrípeta se define como:

$$a = \frac{v^2}{R}$$

dónde$v$es la velocidad que es constante, y$R$es radio. La velocidad también se puede expresar como:

$$v = \frac{2 \pi R}{T} = \omega R$$

dónde$T$es hora de una revolución completa, y$\omega$es la frecuencia circular. La aceleración centrípeta también se puede definir como:

$$a = \omega^2 R \tag 4$$

Combinando las Ecs. (3) y (4) obtenemos la forma final

$$\boxed{\tan \theta = \frac{\omega^2 R}{g}}$$

Nunca se puede alcanzar un ángulo de$\theta = 90^\circ$como en ese caso no hay componente vertical de la tensión ($T \cos \theta$) que debe cancelar el peso ($G = mg$). Debido a esto, el cuerpo también se movería ( caería ) en dirección vertical.

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Aquí derivo la expresión para la aceleración centrípeta (radial). Antes de comenzar, definamos los vectores de posición, velocidad y aceleración en dos dimensiones:

$$\vec{r} = x \hat{\imath} + y \hat{\jmath}, \qquad \vec{v} = v_x \hat{\imath} + v_y \hat{\jmath}, \qquad \vec{a} = a_x \hat{\imath} + a_y \hat{\jmath}$$

dónde$\hat{\imath}$y$\hat{\jmath}$son vectores unitarios que abarcan el plano horizontal.

La derivada del tiempo del desplazamiento es la velocidad, mientras que la derivada de la velocidad es la aceleración:

$$\frac{d}{dt}\vec{r} = \vec{v} = \dot{x} \hat{\imath} + \dot{y} \hat{\jmath}, \qquad \frac{d}{dt}\vec{v} = \vec{a} = \dot{v}_x \hat{\imath} + \dot{v}_y \hat{\jmath}$$

dónde$v_x = \dot{x}$,$v_y = \dot{y}$,$a_x = \dot{v}_x$, y$a_y = \dot{v}_y$.

También necesitaremos ecuación para el producto escalar de dos vectores$\vec{c} = (c_\imath, c_\jmath)$y$\vec{e} = (e_\imath, e_\jmath)$:

$$\vec{c} \cdot \vec{e} = |\vec{c}| |\vec{e}| \cos \alpha = c_\imath e_\imath + c_\jmath e_\jmath$$

dónde$\alpha$es el ángulo entre los dos vectores, mientras que$|\vec{c}|$y$|\vec{e}|$son de longitud vectorial:

$$|\vec{c}|^2 = c_\imath^2 + c_\jmath^2$$

Finalmente, definimos$|\vec{r}| = R$,$|\vec{v}| = v_0$, y$|\vec{a}| = a_0$.

Empecemos ahora con la ecuación de posición y velocidad en movimiento circular:

$$x^2 + y^2 = R^2 \tag 5$$ $$v_x^2 + v_y^2 = v_0^2 \tag 6$$

dónde$R$es el radio del movimiento que se supone constante, y$v_0$es la velocidad del movimiento que se supone que varía con el tiempo.

Tome la derivada temporal de la Ec. (5):

$$x v_x + y v_y = 0 \quad \rightarrow \quad v_0 R \cos \phi = 0$$

dónde$\phi$es el ángulo entre los vectores de posición y velocidad. Concluimos que el ángulo es$\phi = 90^\circ$, es decir, los vectores de posición y velocidad son perpendiculares.

Calcular la derivada temporal de la ecuación anterior:

$$x a_x + y a_y = -v_0^2 \quad \rightarrow \quad a_0 R \cos \rho = -v_0^2$$

dónde$\rho$es el ángulo entre los vectores de posición y aceleración. Llegamos a la conclusión de que el ángulo está en el segundo o tercer cuadrante, es decir, los vectores de posición y aceleración apuntan en direcciones opuestas.

Tome la derivada temporal de la Ec. (6):

$$v_x a_x + v_y a_y = v_0 \dot{v}_0 \quad \rightarrow \quad a_0 \cos \varepsilon = \dot{v}_0$$

dónde$\varepsilon$es el ángulo entre los vectores de velocidad y aceleración. Desde$a_0 \cos \varepsilon$es proyección de vector$\vec{a}$en vectores$\vec{v}$, la aceleración tangencial se define como:

$$\boxed{a_{||} = a_0 \cos \varepsilon = \dot{v}_0}$$

En otras palabras, la aceleración tangencial cambia la magnitud de la velocidad. Cuando el movimiento circular es uniforme (velocidad constante), la aceleración tangencial es cero.

Ahora encontramos la relación entre los ángulos$\phi$,$\rho$y$\varepsilon$:

$$\rho = \phi + \varepsilon = 90^\circ + \varepsilon \quad \rightarrow \quad \cos \rho = - \sin \varepsilon$$

La ecuación para la aceleración radial se convierte en:

$$a_0 R \cos \rho = -v_0^2 \quad \rightarrow \quad a_0 \sin \varepsilon = \frac{v_0^2}{R}$$

Desde$a_0 \sin \varepsilon$es proyección de vector$\vec{a}$en el eje perpendicular al vector$\vec{v}$(que está en la dirección opuesta al vector de posición$\vec{r}$), esto también se llama aceleración radial :

$$\boxed{a_{\perp} = a_0 \sin \varepsilon = \frac{v_0^2}{R}}$$

En otras palabras, la aceleración radial solo cambia la dirección del vector de velocidad, ¡pero no afecta su magnitud!

Esto concluye la derivación de expresiones para aceleraciones tangenciales y radiales.

Mira este diagrama de cuerpo libre, de aquí obtienes

$$\tan \theta=\frac{m\omega^2r}{mg}$$

Por tanto, si la velocidad angular$\omega$aumenta el ángel$\theta$aumenta