Explicación intuitiva de por qué la aceleración centrípeta es v2rv2r\frac{v^2}{r} [duplicado]

Hay varias formas de escribir la aceleración centrípeta

v 2 r = ω 2 r = v ω

¿Existen explicaciones intuitivas para cualquiera de estas tres formas?

Por ejemplo, puedo explicar la forma v ω considerándolo como el cambio en el vector velocidad tangencial d θ d t = ω veces la magnitud del vector velocidad, v .

¿Qué pasa con las otras formas?

@Cicero Algo que da un razonamiento detrás de por qué la fórmula debería ser verdadera, sin invocar la prueba formal basada en derivada
tal vez puedas borrar este comentario :-)

Respuestas (2)

Aquí hay una manera simple.

Un punto se mueve alrededor de un círculo. Tiene un vector de posición azul y un vector de velocidad rojo, así:

ingrese la descripción de la imagen aquí

El vector de posición mantiene la misma longitud y gira una y otra vez en un círculo. Debido a que el vector de posición está cambiando, tiene una derivada. Esa derivada es la velocidad.

Debido a que siempre vamos a la misma velocidad, el vector de velocidad también se mantiene de la misma longitud. Debido a que la velocidad siempre gira 90 grados desde la posición, la velocidad también gira en un círculo. En otras palabras, el vector de velocidad está haciendo exactamente lo mismo que el vector de posición; girando y permaneciendo de longitud constante. La única diferencia entre la posición y la velocidad es que giramos 90 grados y multiplicamos la longitud por v / r .

(Nota: no importa dónde dibujemos un vector; no importa dónde lo dibujemos, el vector es el mismo. Dibujamos el vector de velocidad al final del vector de posición, por lo que parece que el vector de velocidad se mueve en espacio. Ese no es el punto. Podemos volver a dibujar el vector de velocidad para que también comience en el origen y luego no se mueva en absoluto. Lo que importa es solo la magnitud y la dirección. El vector de velocidad, incluso si hacemos siempre comienza en el origen, gira en un círculo a la misma velocidad que el vector de posición porque siempre están separados por 90 grados, por lo que el vector de velocidad realmente se ve como un nuevo vector de posición, solo que con una magnitud diferente y una dirección de 90 grados adelante).

La aceleración es la derivada de la velocidad, y sabemos cómo sacar la derivada. Como la velocidad está haciendo exactamente lo mismo que la posición, podemos obtener la derivada de la velocidad exactamente de la misma manera que lo hicimos con la posición.

Giramos la velocidad 90 grados y obtenemos un vector que apunta hacia el centro del círculo. Esa es la dirección de la aceleración. Luego multiplicamos la longitud del vector velocidad por v / r , al igual que antes, para obtener la aceleración, que es v ∗ v / r = v 2 / r .

Esta es una forma agradable y perspicaz de pensar las cosas; usando lo que ya sabemos y con lo que nos sentimos cómodos y traduciéndolo a dominios desconocidos.
Es un brillante argumento heurístico el que hiciste aquí. Sin embargo, tengo una consulta. Me parece que su prueba se basa en las siguientes suposiciones: 1) la forma en que diferencia una función/variable no debe depender de esa función en particular (por ejemplo, cuando usamos la regla de la cadena para diferenciar polinomios, la regla se cumple para cualquier polinomio de grado norte , y no le importa si es una función cuadrática o cúbica la que deriva).
Lo siento, pero no puedo entender tu punto en absoluto. No hay nada sobre polinomios aquí. Es un argumento basado en la geometría.
2) descubrió que para diferenciar el vector de posición, lo gira 90 grados en sentido antihorario para encontrar su dirección, para su magnitud, v = r v r . 3) asumió que dado que toda la situación para el vector de velocidad es idéntica a la de la posición, se deben realizar los mismos procedimientos para diferenciar la velocidad para obtener la aceleración.
Sin embargo, su argumento suena un poco ad hoc para mí, usando su suposición que podría deducir: a = v a v (lo cual es correcto, ya que es una identidad), pero dedujiste que: la magnitud de la derivada es: derivada= tu función por v / r eso es a = v v r ¿Puedes justificar por qué no es mi deducción sino la tuya la regla?
@MarkEichenlaub, lo siento, mi comentario fue demasiado largo para caber en un comentario.
Sí, realmente no estoy entendiendo tu punto. Tal vez pueda pensar más al respecto, expresarlo más claramente y publicarlo como una pregunta separada.
La respuesta supone comprender algunas propiedades básicas de las derivadas, como la linealidad.
@MarkEichenlaub la primera derivada es: v = r v r . usted generalizó esto para cualquier función vectorial dada X en este caso, su derivada es: X ′ = X v r , por lo tanto : a = v ′ = v v r Sin embargo, usando su ejemplo, podría generalizar la derivada para cualquier vector general X ser: X ′ = X X ′ X , de modo que se obtiene: a = v ′ = v v ′ v Ahora para mi generalización, sé que es verdad, ya que es una identidad matemática. Sin embargo, no estoy seguro de que su generalización sea cierta. Entonces, ¿puedes explicar cómo estás seguro de que la generalización a la que llegaste es verdadera?
No, eso es completamente incorrecto. Nada en mi respuesta dice nada remotamente parecido a eso. Es solo porque tanto la posición como la velocidad tienen una magnitud constante y giran a la misma frecuencia que podemos obtener su derivada de la misma manera. Obviamente, no es cierto para funciones arbitrarias.
@OmarNagib, el operador d/dt en la explicación de Mark actúa sobre un vector y no le importa lo que representa, solo que cambia de dirección a una velocidad angular constante ω con una magnitud constante. Quizás la brillante explicación de Mark podría mejorarse si notara que tanto el vector de posición como el de velocidad giran a la misma velocidad angular. ω = v / r , y por lo tanto multiplicado por este mismo factor.
@OmarNagib Ver esto y estas preguntas y respuestas

Imagina que vas en un círculo de radio r comenzando a las tres en punto y dirigiéndose hacia las dos en punto. Si te lleva tiempo T entonces tu velocidad es v = 2 π r / T .

Ahora, si observa su velocidad, comienza yendo hacia arriba y luego termina yendo hacia la izquierda, luego hacia abajo y luego hacia arriba nuevamente. Es como si tu vector de velocidad estuviera en un círculo de "radio" v pero comenzando a las 12 en punto (correspondiente al punto de velocidad hacia arriba) y también hace un círculo completo en el tiempo T porque la velocidad no vuelve a apuntar directamente hacia arriba hasta que la posición vuelve a ser las 3 en punto.

Entonces podemos calcular la aceleración de la misma manera que calculamos la velocidad a = 2 π v / T .

Así que tenemos dos ecuaciones y tienen un T no queríamos en nuestra respuesta final, así que resuelve la primera ecuación, v = 2 π r / T , para T Llegar T = 2 π r / v . Luego reemplaza eso en la segunda ecuación. a = 2 π v / T Llegar a = 2 π v / ( 2 π r / v ) = v 2 / r .

La primera ecuación, v = 2 π r / T , parece muy intuitivo y la segunda ecuación es exactamente lo mismo que sucede exactamente por la misma razón, pero no es algo que hacemos intuitivamente.

Es bueno poder aplicar las mismas técnicas y conocimientos físicos a problemas que son funcionalmente equivalentes pero menos obvios, por lo que es una buena habilidad poder hacer esto.

Si estudias cálculo vectorial, podrías corregir la ecuación de la partícula y tomar la derivada un par de veces y luego encontrar la magnitud, y no hay nada de malo en eso. Pero aún deberías ser capaz de reconocer que a = 2 π v / T como la velocidad a la que cambia la velocidad.

Pensar en el espacio de velocidades como un espacio real significa que puede pensar en las condiciones iniciales como la especificación de un punto en un espacio 6d (3 dimensiones para las posiciones iniciales y tres para la velocidad) y que la dinámica luego mueve ese punto en el espacio 6d de maneras particulares.

Explicación intuitiva de por qué la aceleración centrípeta es v2rv2r\frac{v^2}{r} [duplicado]
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