¿Qué sucede si la fuerza neta proporcionada para un movimiento circular es mayor que la fuerza centrípeta requerida?

Seamos más exactos en esto:

La segunda ley de Newton para el movimiento plano en coordenadas polares viene dada por

$$\mathbf F=m\left(\ddot r-r\dot\theta^2\right)\hat r+m\left(r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta\right)\hat\theta$$

dónde$r$es la coordenada radial y$\theta$es el ángulo desde el$x$-eje.

Si aplicamos sólo una fuerza radialmente hacia adentro$\mathbf F=-F\,\hat r$, entonces terminamos con dos ecuaciones diferenciales acopladas

$$\ddot r=r\dot\theta^2-\frac Fm$$ $$\ddot\theta=-\frac{2\dot r\dot\theta}{r}$$

Solo para verificar, primero resolvamos este problema para el movimiento circular uniforme. Para las condiciones iniciales usaremos (dejaré las unidades en mis números)$r(0)=10$,$\dot r(0)=0$,$\theta(0)=0$,$\dot\theta(0)=1$. vamos a establecer$m=1$. Para un movimiento circular uniforme, esto significa que queremos$F=mr\dot\theta^2=1\cdot10\cdot1^2=10$. Y, por supuesto, obtenemos un movimiento circular uniforme, como se muestra en el gráfico xy a continuación.

Entonces, ¿qué pasa si mantenemos las mismas condiciones iniciales que teníamos en nuestro movimiento circular uniforme y de repente duplicamos la magnitud de nuestra fuerza de$10$a$20$? Bueno, a diferencia de lo que dicen otras respuestas (ahora eliminadas), no obtenemos una espiral hacia el origen. De hecho obtenemos oscilaciones en$r$, Como se muestra abajo:

Esto tiene sentido. Desde la perspectiva de una fuerza ficticia, la fuerza centrífuga que actúa sobre el objeto aumentará a medida que se mueva radialmente hacia adentro, por lo que llega un punto en el que el objeto es empujado hacia afuera en lugar de hacia adentro. Luego, el objeto eventualmente se moverá hacia afuera, luego hacia adentro, etc.

Si queremos llegar al centro, intentemos aumentar la fuerza con el tiempo. Como primer paso, hagamos que la magnitud de la fuerza sea una función del tiempo linealmente creciente que comienza en nuestra fuerza de movimiento circular uniforme. Por ejemplo, si$F=10\cdot(1+10\cdot t)$terminamos con esta trayectoria:

donde la trayectoria puede acercarse tanto al origen como desee a medida que aumenta la fuerza. Sin embargo, todavía habrá oscilaciones en$r$. No obtendrás una espiral perfecta con este tipo de fuerza.

Para obtener más información, hagamos ingeniería inversa sobre cómo obtener una espiral. Como primer paso simple, veamos una espiral que va hacia adentro con una velocidad radial lineal constante y una velocidad angular constante. Esto se describe fácilmente mediante las siguientes ecuaciones (tenga en cuenta que estoy usando la variable$v$aquí como la "velocidad hacia adentro", no en el sentido habitual como$v=r\omega$)

$$r(t)=r_0-vt$$ $$\theta(t)=\omega t$$

Entonces sabemos que la fuerza que actúa sobre nuestro objeto está dada por

$$\mathbf F=m\left(\ddot r-r\dot\theta^2\right)\hat r+m\left(r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta\right)\hat\theta=m\left(0-(r_0-vt)\omega^2\right)\hat r+m\left(0-2v\omega\right)\hat\theta$$

Entonces, queremos una fuerza

$$\mathbf F=-m\omega^2(r_0-vt)\,\hat r-2mv\omega\,\hat\theta$$

Entonces, esto no se puede hacer con una cadena porque$F_\theta\neq0$.

¡Aunque estamos cerca! De manera más realista, si en realidad estamos tirando de una cuerda con la mano, es probable que estemos controlando directamente$r(t)$mientras tengo$F_\theta=0$. Así que combinemos las dos clases de escenarios cubiertos anteriormente y digamos$\mathbf F=-F\hat r$para nuestra cadena y restricción$r(t)=r_0-vt$para tratar de obtener una espiral hacia adentro. Entonces nuestras ecuaciones de movimiento se convierten en

$$0=\dot\theta^2(r_0-vt)-\frac Fm$$ $$\ddot\theta=\frac{2v\dot\theta}{r_0-vt}$$

La segunda ecuación diferencial vamos a determinar$\dot\theta(t)$como (observe cómo se conserva el momento angular, que es una buena prueba de cordura)

$$\dot\theta(t)=\frac{r_0^2\dot\theta(0)}{(r_0-vt)^2}$$

Y entonces la fuerza que necesitamos está dada por

$$F=m\dot\theta(t)^2(r_0-vt)=\frac{mr_0^4\dot\theta(0)^2}{(r_0-vt)^3}$$

Obtenemos una fuerza centrípeta que va aumentando en magnitud, que es lo que queríamos. Pero observe cómo ahora aumenta a medida que$1/(r_0-vt)^3$en lugar de sólo linealmente con respecto a$t$. Tenga en cuenta que ahora solo podemos mirar$t<r_0/v$desde que cruzo$t=r_0/v$haría una fuerza infinita.

Así que finalmente, respondamos tu pregunta.

¿Un objeto será jalado hacia el centro linealmente si la fuerza neta proporcionada para un movimiento circular es mayor que la fuerza centrípeta requerida? ¿Y por qué?

Suponiendo que "linealmente" quiere decir con una velocidad radial constante, entonces la respuesta es sí, siempre que aumente la fuerza de la manera correcta. Esto tiene una explicación simple en el marco que gira con el objeto: está suministrando la cantidad justa de fuerza para equilibrar la fuerza centrífuga en todos los puntos en el tiempo.

Cuando se tira con más fuerza hacia el centro, no puede comenzar a moverse linealmente hacia el centro.

Ya tiene una velocidad tangencial (de lo contrario no habría movimiento circular). Para empezar a moverse linealmente hacia el centro, la velocidad tangencial debe ser cero. Si tira directamente hacia adentro, entonces no hay fuerza que actúe tangencialmente, por lo que no hay nada que disminuya la velocidad tangencial.