Cinemática para movimiento circular no uniforme

Estoy tratando de entender cómo es la cinemática para el movimiento circular no uniforme. Sé que puedes representar la aceleración neta de un objeto en movimiento circular no uniforme con la siguiente ecuación:

a norte mi t = a T + a C

dónde a T es la aceleración tangencial y a C es la aceleración centrípeta. Puedes simplificar aún más esta ecuación a:

a norte mi t = ( d V d T ) mi ^ t + V 2 R mi ^ C

dónde mi ^ t y mi ^ C son vectores unitarios en las direcciones tangencial y centrípeta.

Lo que no sé cómo hacer es un escenario en el que sabes que un objeto tiene una cierta aceleración neta constante . El objeto está acelerando desde una velocidad angular/tangencial inicial hasta una velocidad angular/tangencial final. En este escenario, cuanto mayor sea la velocidad tangencial del objeto, menor será la aceleración tangencial del objeto. Esto se debe a que cuanto mayor sea la velocidad, más fuerza necesitarás para cambiar de dirección. Por tanto, la componente centrípeta de la aceleración neta aumenta y la componente tangencial de la aceleración neta disminuye.

¿Cómo resolvería el tiempo que tardaría el objeto en acelerar desde v 0 a v F ?

Mis pensamientos iniciales sobre esto son que necesitarías expresar la aceleración tangencial/angular en función del tiempo para que puedas aplicar la siguiente fórmula cinemática:

v F = v 0 + ∫ t 0 t F a t d t

Agradecería alguna ayuda sobre cómo poder encontrar una función para la aceleración tangencial para poder hacer cinemática con este tipo de escenarios.

Si este es un problema de tarea, tenemos reglas contra eso. Si este es un problema de su propia creación, aprenda sobre la función hipergeométrica o aprenda sobre la integración numérica.
@DavidHammen ¿Cómo sería útil la función hipergeométrica para esto? Además, no es un problema de tarea. Estoy trabajando en un proyecto paralelo para el que necesito poder hacer cinemática rotacional como esta.

Respuestas (1)

Es simplemente una cuestión de resolver el vector de aceleración total a en sus componentes. Aceleración tangencial a t = s ¨ es el componente que se encuentra a lo largo del círculo o curva, mientras que la aceleración centrípeta a C = s ˙ 2 / r es la componente normal a la curva. ( s es la distancia a lo largo de la curva). La aceleración centrípeta no tiene efecto sobre la velocidad a lo largo de la curva, por lo que puede ignorarse.

Este procedimiento funciona para cualquier curva y también para aceleración neta no constante a . Así que todo lo que necesitas saber es el ángulo entre el vector de aceleración total y la tangente a la curva en cada punto.

Su fórmula de integración no es muy útil porque no sabe cómo a t = s ¨ varía con el tiempo, por lo que no se puede integrar fácilmente. Lo que puedes hacer es expresar s ¨ en términos de distancia a lo largo del arco, o ángulo alrededor de un círculo:
a t = s ¨ = d v d t = v d v d s = v r d v d θ
dónde v = s ˙ es la velocidad a lo largo de la curva, θ es el ángulo barrido por un radio vector, y r es el radio.

Suponga que la aceleración total constante a y los vectores tangentes son inicialmente paralelos, y suponga que la posición de la partícula en el círculo se mide en términos de ángulo θ Desde este punto. Entonces la aceleración tangencial es a t = a porque ⁡ θ . La ecuación del movimiento es
v d v d θ = a r porque ⁡ θ
que puedes resolver por integración para encontrar la velocidad v en cualquier ángulo θ en el circulo

Sin embargo, sospecho que el escenario que desea resolver no es uno en el que la aceleración neta sea constante. Por ejemplo, una partícula deslizándose sobre un alambre circular vertical en un campo gravitatorio. La fuerza gravitatoria sobre la partícula es constante, pero también hay una fuerza de reacción normal, y esta no es constante, por lo que la aceleración neta de la partícula no es constante en este escenario.

En este caso se puede definir una energía potencial para el sistema partícula-alambre. (Esto es posible para cualquier fuerza conservativa, no solo para una fuerza constante). Luego, puede relacionar la velocidad de la partícula a lo largo del cable con su altura en el campo de fuerza, utilizando la conservación de la energía mecánica.

Sammy, en este caso, tienes un lío. Necesitas integrar ω ˙ ( t ) = ω máximo 4 − ω ( t ) 4 dónde ω máximo 2 = a / r y a es la aceleración máxima. Intentalo. Mathematica puede resolverlo, pero es un desastre.
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