¿Cómo viajas en una órbita circular alrededor de un cuerpo masivo?

La condición para permanecer en una órbita circular es el requisito de que la fuerza centrípeta sea igual en magnitud a la atracción gravitacional. Para ser preciso:

$$F_g=F_c,$$

$$mg=\frac{mv^2}{r},$$

dónde$F_g$es el valor absoluto de la fuerza gravitacional,$F_c$el valor absoluto de la fuerza centrípeta,$g$la aceleración gravitacional,$m$la masa del objeto en movimiento,$v$su velocidad tangencial y$r$la distancia desde el centro de la órbita. Puede expresar la velocidad requerida a partir de esa ecuación, lo que da como resultado:

$$v=\sqrt{rg},$$

que es independiente de la masa del objeto. Tenga en cuenta que$g$no es la aceleración gravitatoria cerca de la superficie terrestre, sino la aceleración que experimenta el objeto debido al campo gravitatorio en su ubicación actual. esta dado por

$$g=G\frac{M}{r^2},$$

dónde$M$es la masa del cuerpo alrededor del cual orbita el objeto en movimiento y$G$es la constante gravitatoria de Newton.

Un enfoque alternativo: la órbita tiene dos constantes de movimiento: conservación de la energía y conservación del momento angular. La energía es la suma de la energía potencial y cinética

$$\begin{align} E &= -\frac{GMm}{r} + \frac{1}{2}mv^2\\ &= -\frac{GMm}{r} + \frac{1}{2}mv_r^2 + \frac{1}{2}mv_T^2,\\ \end{align}$$ dónde $v_r$es la velocidad radial y $v_T$la componente de velocidad tangencial. La magnitud del momento angular es $$L = mrv_T.$$ Sustituyendo $L$en la ecuación para $E$, obtenemos $$E = -\frac{GMm}{r} + \frac{1}{2}mv_r^2 + \frac{L^2}{2mr^2},$$ para que podamos escribir $v_r$como una función de $r$: $$v_r^2 = \frac{2E}{m} + \frac{2GM}{r} - \frac{L^2}{m^2r^2}.$$ Para una órbita circular, $v_r$es idénticamente cero, lo que significa que su derivada también es cero: $$\frac{\text{d}v_r^2}{\text{d}r} = -\frac{2GM}{r^2} + \frac{2L^2}{m^2r^3} =0,$$ de modo que $$r = \frac{L^2}{GMm^2}.$$ Por lo tanto $$L^2 = GMm^2r = m^2r^2v_T^2,$$ en otras palabras $$v_T = \sqrt{\frac{GM}{r}}.$$