Cuaterniones y 4-vectores

El objeto del que estás hablando se llama, en matemáticas, álgebra de Clifford. El caso cuando el álgebra está sobre el campo complejo en general tiene una estructura significativamente diferente del caso cuando el álgebra está sobre el campo real, lo cual es importante en Física. En Física, en el caso específico de 4 dimensiones, usando la métrica de Minkowski como tienes en tu Pregunta, y sobre el campo complejo, el álgebra se llama álgebra de Dirac. Una vez que tenga el nombre Clifford algebra , puede buscarlos en Google, donde la primera entrada es, como era de esperar, Wikipedia, http://en.wikipedia.org/wiki/Clifford_algebra, que le da una idea razonable de los métodos de construcción abstracta que prefieren los matemáticos. Vale la pena leer la página de John Baez a la que se vincula desde la página de Wikipedia (si pasó un año aprendiendo todo lo que John Baez ha publicado a lo largo de los años, casi siempre con una claridad inusual y de manera atractiva, conocería la mayoría de las matemáticas que podrían ser útil para la física).

No es tanto que las álgebras de Clifford sean graciosas. Su construcción cuadrática está interrelacionada, a menudo estrechamente, con muchas otras construcciones en matemáticas.

Hay personas que están entusiasmadas con el álgebra de Clifford, a veces mucho o demasiado, y se ha derramado mucha tinta (las Respuestas de Joel Rice y Luboš Motl son bastante inadecuadas para la literatura, excepto que creo que optaron por interpretar su Pregunta de manera restringida donde he abordado a qué ha llevado su construcción en Matemáticas más ampliamente), pero hay muchos otros peces en el mar para admirar.

EDITAR: Particularmente a la luz de los comentarios de Marek a continuación, se debe decir que interpreté generosamente la Pregunta de Isaac. Hay un error un tanto evidente en el OP que Luboš señala (que espero que veas, Isaac). Sin embargo, hay un tipo de construcción que está muy relacionado con lo que elegí tomar como la idea del OP, las álgebras de Clifford.

Isaac, así es como creo que debería ser tu derivación, si solo usamos cuaterniones, tomando$q=t+ix+jy+kz$,

EDITAR (2): Hola, Isaac. He pensado demasiado en esto durante la noche. Creo que ahora que me equivoqué, no te equivocaste. Creo que pretendías tu expresión$(a,b,c,d)^2$para significar el producto interior definido positivo$a^2+b^2+c^2+d^2$. Con esta lectura, sin embargo, vemos tres estructuras distintas, el producto interno definido positivo, los cuaterniones y el producto interno del espacio de Minkowski que surge del uso de los dos primeros juntos. Parte de lo que me hizo querer presentar una construcción diferente es que en la suya el uso de los cuaterniones es redundante, porque obtendría el mismo resultado que encontró notable si solo usara$(a,ib,ic,id)^2$(como también mencionó Luboš). Incluso el producto interno definido positivo es redundante, en la medida en que lo que realmente nos interesa es solo el producto interno del espacio de Minkowski. Además, por supuesto, conozco algo que se ve similar y que ha sido matemáticamente productivo durante más de un siglo, y que se puede construir usando solo la idea de un álgebra no conmutativa y el producto interno del espacio de Minkowski.

Para continuar con lo anterior, podemos escribir$\gamma^1=i$,$\gamma^2=j$,$\gamma^3=k$para los elementos básicos cuaterniónicos, junto con el elemento básico$\gamma^0$, entonces podemos definir el álgebra por los productos de los elementos básicos del álgebra,$\gamma^\mu\gamma^\nu+\gamma^\nu\gamma^\mu=2g^{\mu\nu}$. Alternativamente, para cualquier vector$u=(t,x,y,z)$podemos escribir$\gamma(u)=\gamma^0u_0+\gamma^1u_1+\gamma^2u_2+\gamma^3u_3$, entonces podemos definir el álgebra por el producto de 4 vectores arbitrarios,$\gamma(u)\gamma(v)+\gamma(v)\gamma(u)=2(u,v)$, dónde$(u,v)$es el producto interior del espacio de Minkowski. Por lo tanto, tenemos$[\gamma(u)]^2=(u,u)$. Ahora todo se está poniendo, a mi ojo, y con suerte a los tuyos, bastante limpio y ordenado, y muy bien en línea con el formalismo convencional.

Es divertido. Tenga en cuenta que su ecuación en realidad no usa ningún cuaternión general único. solo usas el$i,j,k$unidades imaginarias de manera ad hoc para obtener tres signos menos siempre que los necesite.

Si estuviera usando un cuaternión real

Debido a que realmente no hemos usado esas relaciones, no hemos usado cuaterniones completos, excepto como un dispositivo de contabilidad sin sentido. De la misma manera, uno puede organizar 8 números reales bajo el paraguas de un solo "octonion" excepto que si la complicada y genial tabla de multiplicar del octonion - con el$G_2$grupo de automorfismo: nunca se emplea, está claro que la interpretación del "octonion" era solo un juego para dar un nombre a una colección de 8 números. Pero no toda colección de 4 u 8 números merece llamarse "cuaternión" y "octonión", aunque, por supuesto, también se pueden obtener los componentes individuales del "cuaternión" y el "octonión".

De la misma manera, un par general de dos números reales simplemente no es un número complejo. Por su propia esencia, un número complejo debe actuar como un número, por lo que debe haber una noción de holomorfía requerida en algún lugar o en todas partes del formalismo, en lugar de dos números. Las referencias vinculadas en las otras respuestas no entienden el propósito y la relevancia de todas esas estructuras matemáticas, por lo que conducen a respuestas incorrectas a la pregunta fundamental de si el truco es real o solo divertido. La respuesta correcta es que es solo una diversión, y tu diversión incluso usó una firma incorrecta que difiere de una diversión algo más natural.

Cornelius Lanczos tiene un capítulo sobre cuaterniones y relatividad especial en su obra "Los principios variacionales de la mecánica". Por lo tanto, se ha utilizado. Pero parece más sencillo considerar el álgebra multivectorial del espacio-tiempo para que t,x,y,z realmente estén en el mismo plano.

Hay un libro: "Quaternions, Clifford Algebras and Relativistic Physics". por Patrik R. Girard. Encuentre esto si desea aprender más: muy buena lectura, no muy compleja y no muy larga. Solo citaré el primer párrafo del capítulo 3.

Desde el comienzo mismo de la relatividad especial, se han utilizado cuaterniones complejos para formular esa teoría [45]. Este capítulo establece la expresión del grupo de Lorentz usando cuaterniones complejos y da algunas aplicaciones. Los cuaterniones complejos constituyen una transición natural hacia el álgebra de Clifford H ⊗ H.

Bueno y la referencia:

[45] L. Silberstein, La Teoría de la Relatividad, Macmillan, Londres, 1914.

Has tropezado con un área fértil. Aunque no es estrictamente lo que estabas preguntando, puedo decirte que quizás la relación más interesante entre los grupos ortogonales y los cuaterniones proviene de observar los espinores. Como sabrás, el grupo de simetría llamado$Spin$double cubre el grupo de rotaciones, y es el grupo más relevante para la física ya que los espinores se transforman bajo este grupo más grande. Un ejemplo útil es la doble cubierta.$SU(2) \rightarrow SO(3),$eso es,$SU(2) = Spin(3)$en la firma euclidiana.

Topológicamente,$SU(2)$es una esfera de 3, que podemos considerar como la unidad de cuaterniones (recuerde, la norma es euclidiana, como lo señalaron otros). Para entender el mapa$SU(2) \rightarrow SO(3),$dejar$v$Sea un cuaternión imaginario (que podemos considerar como un 3-vector), y sea$q$estar en$SU(2).$Entonces, dado que la multiplicación de cuaterniones conserva la norma,

tiene la misma norma que v, y notarás que sigue siendo imaginaria. Así, la acción$v\stackrel{q}{\mapsto} \overline{q}vq$de$SU(2)$en$R^3$(los cuaterniones imaginarios) es por una rotación. Es más,$q$y$-q$actuar de la misma manera. Así que hemos descrito una doble cubierta de$SU(2)$en rotaciones tridimensionales.

Tal vez esto no es lo que indagó o descubrió de inmediato, pero probablemente valga la pena saberlo.

Primera nota que$q = t + xi + yj +zk$y$q\prime = t - xi - yj - zk$

Asi que$qq\prime = t^2 + x^2 + y^2 + z^2$

Por lo tanto, debe ser$t^2 + x^2 + y^2 +z^2$y por lo tanto no es la firma correcta de la relatividad especial. En segundo lugar, dado que el cuaternión no tiene un análogo de una noción como la función holomorfa (ya que su conjugado no es independiente), no es físicamente ideal o útil hasta donde yo sé. Puede generalizarlo y tener una excelente utilidad, pero debe renunciar a su propiedad de álgebra de división. El álgebra de Clifford es un ejemplo.

Cuadre cualquier cuaternión, no necesariamente uno que involucre espacio y tiempo:

Ahora haga la pregunta inversa: ¿qué tipo de física resulta si el término espacio-tiempo-tiempo es invariable para dos observadores diferentes? En este caso, el término del intervalo cambiará. La única área de la física que conozco donde los intervalos cambian (son dinámicos) es la gravedad. Si la gravedad se debe a un nuevo principio de invariancia en la Naturaleza (el espacio-tiempo-tiempo es el mismo para diferentes observadores en un campo gravitatorio), entonces, como la relatividad especial, uno no tiene una ecuación de campo. Sin una ecuación de campo, no hay partícula de fuerza.

Lo que se olvidó en la pregunta original puede ser lo más interesante para pensar detenidamente.

La construcción que ha detallado es un poco ad hoc porque no está usando la norma en los cuaterniones. Sin embargo, hay una forma de modificar la multiplicación de los cuaterniones que te permite hacer exactamente eso.

James Cockle introdujo los cuaterniones divididos en 1843 donde especificó$i^2=-1, j^2=+1, k^2=+1$. Si modificamos esto aún más especificando que$i^2=+1$también entonces obtenemos un cuaternión$v=a+bi+cj+dk$(de este tipo) la norma$v^2=v^*v=a^2-b^2-c^2-d^2$dónde$v^*=a-bi-cj-dk$es el conjugado de$v$. Esta es la métrica de Minkowski expresada naturalmente a través de una norma.

No sé si hay un nombre estándar para este tipo de cuaterniones. Los cocuaterniones podrían ser una posibilidad, pero parece que esto también es un sinónimo de los cuaterniones divididos. Desafortunadamente, a diferencia de los cuaterniones habituales, no todos los elementos distintos de cero tienen un inverso. Pero hay una condición natural que te permite decir que puedes: mientras la norma del elemento no se desvanezca, entonces podemos tomar la inversa. Esto recuerda cómo funcionan los determinantes en el álgebra lineal.

El espacio de Minkowski generalmente se expresa como un espacio vectorial normado de firma$(1,3)$. lo que acabamos de mostrar es que naturalmente podemos colocar una estructura de álgebra en este espacio. Y de manera similar para tales espacios de cualquier firma que conduce al concepto de Clifford Algebras donde especificamos que$p$generadores cuadrados a +1 y$q$generadores al cuadrado a -1.

Qué tan útil es esto para la relatividad, no estoy seguro. Pero encontrar estructuras extra naturales para trabajar suele ser una buena idea.

Es cierto que la multiplicación de cuaterniones te da el intervalo de espacio-tiempo de la relatividad. Si pudiera hacer que los otros tres términos significaran algo interesante que encaje con eso, tendría algo interesante .

La gente tiende a usar cuaterniones solo para hacer rotaciones. Esto involucra$YXY^t$.

¿Qué obtienes cuando solo haces$YX$?

cuando acabas de hacer$YX$obtienes una órbita elíptica Kepleriana en lugar de una rotación.

Establecer$X$a$[0,A]$dónde$A$es el vector desde el centro de la elipse hasta el punto orbital más cercano al foco, con el parámetro de tiempo establecido en cero. (Por conveniencia puse$|A|=1$ya que la escala es arbitraria.

Establezca G como cualquier unidad de cuaternión$[0,B]$.$B\times X$es el semieje menor de la elipse.$B.\overline{X}$es la excentricidad.$|B|X$es el foco.

Para cualquier anomalía media$E$, encontrar$Y=[cos(E), sin(E)G]$y si multiplicas eso por cualquier cuaternión en la órbita, obtendrás otro cuaternión en la órbita rotada tanto. La dimensión temporal de ese cuaternión mostrará qué tan avanzado o retrasado está el tiempo en relación con un período orbital completo.

$YXY^t$da una forma de eliminar la excentricidad cuando$A$y$B$no son perpendiculares.

Calcula una órbita de Kepler en dos pasos. Encuentre la anomalía media para el caso de entrada que desee y realice una multiplicación de cuaterniones.

Cualquier cosa que haga con la multiplicación de cuaterniones cuando uno de los cuaterniones es un vector unitario, es análogo a calcular una órbita elíptica.

¿Puedes pensar en una manera de hacer cálculos de relatividad especial análogos al cálculo de órbitas elípticas?