¿Por qué es necesario que diferentes observadores estén de acuerdo en el valor del intervalo de espacio-tiempo ds2ds2ds^2?

La implicación física sería que diferentes observadores inerciales encontrarían diferentes valores para la velocidad de la luz. Es la suposición de que c es constante para todos los observadores lo que conduce a esa ecuación particular para el intervalo.

Siempre que todos los observadores estén de acuerdo en que es cero, todos estarán de acuerdo en la misma velocidad de la luz.

Por lo que puedo ver, la velocidad universal de la luz per se no impone ningún otro requisito.

Pero la velocidad universal de la luz no es la única entrada. También requerimos que haya una sola realidad subyacente detrás de las diferentes observaciones realizadas en los diferentes marcos.
Por lo tanto, debe haber una transformación consistente de una observación a otra. Eso es lo que proporciona la fórmula de la 'distancia'.

PRIMER POSTULADO DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL

Las leyes de la física son las mismas y pueden expresarse en su forma más simple en todos los marcos de referencia inerciales.

SEGUNDO POSTULADO DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL

La velocidad de la luz c es una constante, independiente del movimiento relativo de la fuente.

El postulado número 1 es tal, de modo que se conserva la causalidad. Y el postulado número 2 es tal, porque esa es la búsqueda de la teoría de la relatividad. Explorar cómo sería un Universo con tales cualidades.

Ninguno de los postulados se puede probar o explorar dentro de la teoría porque la teoría se basa en ellos, necesitaremos salir de la relatividad a alguna otra teoría para explorar tales preguntas. Y hasta ahora, no existe tal teoría.

intervalos espaciales en la mecánica newtoniana

En la mecánica newtoniana diferentes observadores pueden estar en desacuerdo sobre la posición de los eventos. Como ejemplo, digamos que soy$100$m a la izquierda de usted. Un evento,$A$, sucede donde estoy. Podría darle a ese evento la coordenada$x_A=0$, y se podría decir que el mismo evento es en$x'_A = -100$metro. Poco tiempo después un segundo evento,$B$, sucede a mitad de camino entre nosotros. yo digo$x_B=+50$m, y tu dices$x_B=-50$metro.

Lo que hay que enfocar es que$A$y$B$son lugares reales en el espacio. Todos están de acuerdo en que$A$sucedió allí , es solo que llamamos allí cosas diferentes. podemos definir$\vec{A}$como un vector que denota la ubicación del evento. Diferentes observadores expresan el mismo vector físico en sus propios sistemas de coordenadas, pero todos están hablando de la misma ubicación física, el mismo objeto geométrico.$\vec{A}$.

Si bien podemos estar en desacuerdo sobre la etiqueta de las ubicaciones de los dos eventos, tanto usted como yo estamos de acuerdo en que$|\vec{B} - \vec{A}| = \Delta r = 50$metro. El vector de desplazamiento$\Delta\vec{r}$entre$A$y$B$es un solo objeto geométrico. Todo el mundo interactúa con esa distancia, y en la física newtoniana todo el mundo dice$A$y$B$están separados por la misma distancia.

Entonces, ¿por qué en la mecánica newtoniana todos los observadores están de acuerdo en el valor del intervalo espacial?

En la mecánica newtoniana todos los observadores tienen una realidad física compartida que preserva las distancias. Matemáticamente, la distancia es una cantidad escalar, mientras que la posición y el desplazamiento son vectores. Diferentes personas pueden etiquetar los vectores de manera diferente en sus propias coordenadas, pero los escalares no tienen$x,y,z$coordenadas La longitud de un vector, que puedes calcular a partir del producto escalar de un vector consigo mismo, es un escalar.

La longitud de los vectores de posición es un poco más complicada. La duración de la posición que le doy a$A$dice la distancia entre yo y$A$. Estarías de acuerdo en esa distancia,$0$m, pero eso no es lo mismo que la longitud de su vector de posición,$100$m, la distancia entre usted y$A$.

intervalos de espacio-tiempo en relatividad especial

Algo similar sucede en SR. Las personas no están de acuerdo con las etiquetas (coordenadas) que dan a los eventos en el espacio-tiempo. Pero los eventos del espaciotiempo son lugares reales en el espaciotiempo. Todos los observadores ocupan la misma realidad física compartida. Todos están de acuerdo en que$A$y$B$sucedió allí y allí , simplemente etiquetan esos lugares de manera diferente. El desplazamiento del espacio-tiempo entre esos dos eventos es un solo objeto geométrico,

En intervalos de tiempo SR ($\Delta t$) y desplazamientos espaciales ($\Delta r$) dependen del observador, pero el intervalo de espacio-tiempo combinado no lo es. El producto punto 4D define qué cosas son invariantes. Y en SR la forma del producto escalar depende de la constancia de la velocidad de la luz.

Podría crear un nuevo producto escalar, basado en una métrica que no sea la métrica de Minkowski, y la forma del intervalo invariable en su nuevo universo sería diferente. Pero esa nueva cantidad no sería útil para SR.