¿Cómo afecta la transformación de Lorentz al tensor métrico?

Question

¿Cómo afecta la transformación de Lorentz al tensor métrico?

usuario215721

Después de realizar una transformación de Lorentz, las coordenadas ortogonales quedarán torcidas, como en la siguiente figura:

ingrese la descripción de la imagen aquí

y en dicho sistema de coordenadas, según este artículo de Wikipedia, la métrica tendrá elementos distintos de cero fuera de la diagonal:

{gramo}_{i j} = {mi}_{i} . {mi}_{j}

$g_{ij}=\mathbf{e}_i.\mathbf{e}_j$

que no es el de un espaciotiempo plano:

gramo = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{matrix}]

$g = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$

¿Cuál es el problema?

usuario4552

Una transformación de Lorentz es solo un cambio de coordenadas, y aunque deja invariantes los componentes de la métrica, no es realmente un problema si un cambio de coordenadas no hace eso. Todo lo que realmente importa es la firma de la métrica (los signos de sus valores propios), y se garantiza que no cambiará (suponiendo que la transformación no sea singular) debido a la ley de inercia de Sylvester. Por ejemplo, no hay nada de malo en una transformación en la que duplicas todas las coordenadas, de modo que

g = diag (1 / 4, - 1 / 4, - 1 / 4, - 1 / 4)

$g=\operatorname{diag}(1/4,-1/4,-1/4,-1/4)$ .

jw_

@ user4552 De hecho, importa. (1) No "sucede" dejar los componentes invariantes, está destinado a dejarlo invariante, como dicen las respuestas. (2) Si de hecho no deja los componentes invariantes (lo que está destinado a nunca suceder), entonces no habrá el concepto de "tensor métrico" discutido en física en absoluto, toda la razón por la que "tesor métrico" se discute en física. es que deja los componentes invariables bajo la transformación específica que ocurre en SR- la transformación de Lorentz.

Respuestas (6)

¿Cómo afecta la transformación de Lorentz al tensor métrico?

Una transformación de Lorentz es solo un cambio de coordenadas, y aunque deja invariantes los componentes de la métrica, no es realmente un problema si un cambio de coordenadas no hace eso. Todo lo que realmente importa es la firma de la métrica (los signos de sus valores propios), y se garantiza que no cambiará (suponiendo que la transformación no sea singular) debido a la ley de inercia de Sylvester. Por ejemplo, no hay nada de malo en una transformación en la que duplicas todas las coordenadas, de modo que $g=\operatorname{diag}(1/4,-1/4,-1/4,-1/4)$ .
@ user4552 De hecho, importa. (1) No "sucede" dejar los componentes invariantes, está destinado a dejarlo invariante, como dicen las respuestas. (2) Si de hecho no deja los componentes invariantes (lo que está destinado a nunca suceder), entonces no habrá el concepto de "tensor métrico" discutido en física en absoluto, toda la razón por la que "tesor métrico" se discute en física. es que deja los componentes invariables bajo la transformación específica que ocurre en SR- la transformación de Lorentz.

Vibert · Answer 1

Tienes que tener mucho cuidado. El $\mathbf{e}_i$ son vectores, por lo que tienen un índice de Lorentz: $\mathbf{e}_i^\mu.$ Cuando escribes

{mi}_{i} \cdot {mi}_{j}

$\mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j$ en realidad quieres decir

{gramo}_{m v} {mi}_{i}^{m} {mi}_{j}^{v}

$g_{\mu \nu} \mathbf{e}_i^\mu \mathbf{e}_j^\nu$ dónde

g_{μ ν}

$g_{\mu \nu}$ es la métrica plana de Minkowski ( no la métrica euclidiana). Una vez que sepa esto, es sencillo verificar que la métrica plana se conserve en las transformaciones de Lorentz.

Editar: en la teoría de la relatividad, los físicos se refieren a estos objetos como un marco o un vierbein . Podría ayudarlo a buscar otros recursos si lo desea.

No precisamente. Cuando escribes $g_{\mu \nu} \mathbf{e}_i^\mu \mathbf{e}_j^\nu$ es una abreviatura de $\mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j$ , y eso (la estructura interna del producto, en este caso una indeterminada de Minkowski) es el objeto fundamental.
Sí, pero eso no es lo que pide OP. Él / ella quiere saber por qué obtiene un resultado inconsistente cuando calcula el producto interno $\mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j$ ingenuamente (en el sentido euclidiano). Es una vista más fundamental, pero debe asignar el valor "correcto" a este producto interno.
Entonces el problema es que necesitas repensar lo que quieres decir con producto interno y ortogonalidad. La versión del componente es una construcción secundaria.

jerry schirmer · Answer 2

Vibert es, por supuesto, completamente correcto. Voy a proponer una versión un poco más geométrica de lo que dice. El tensor métrico de minkowski viene dado por:

d s^{2} = {gramo}_{a b} d X^{a} d X^{b} = - d t^{2} + d X^{2} + d y^{2} + d z^{2}

$ds^{2} = g_{ab}dx^{a}dx^{b} = -dt^{2} + dx^{2} + dy^{2} + dz^{2}$

Ahora, sabiendo que $v = \tanh\phi$ , es bastante fácil demostrar que las transformaciones de Lorentz están dadas por:

\begin{aligned} t^{'} & = t aporrear ϕ - X pecado ϕ \\ X^{'} & = X aporrear ϕ - t pecado ϕ \end{aligned}

$\begin{align} t' &= t \cosh \phi - x \sinh\phi\\ x' &= x \cosh \phi - t \sinh\phi \end{align}$

Tomando la diferencial, resolviendo para $dt$ y $dx$ y sustituyendo en el elemento de línea anterior, encontramos:

d s^{' 2} = - ({aporrear}^{2} ϕ - {pecado}^{2} ϕ) d t^{' 2} + ({aporrear}^{2} ϕ - {pecado}^{2} ϕ) d X^{' 2} + d y^{2} + d z^{2}

$ds'^{2} = -\left(\cosh^{2}\phi - \sinh^{2}\phi\right)dt'^{2} + \left(\cosh^{2}\phi - \sinh^{2}\phi\right)dx'^{2} + dy^{2} + dz^{2}$

Como conocemos la identidad trigonométrica básica $\cosh^{2} - \sinh^{2} = 1$ , encontramos eso

d s^{' 2} = {gramo}_{a b}^{'} d X^{' a} d X^{' b} = - d t^{' 2} + d X^{' 2} + d y^{2} + d z^{2}

$ds'^{2} = g_{ab}'dx'^{a}dx'^{b} = -dt'^{2} + dx'^{2} + dy^{2} + dz^{2}$

y es claro que las componentes del tensor métrico son las mismas.

EDITAR: para ver cómo esto se convierte en la transformación ordinaria de lorentz:

\begin{aligned} bronceado ϕ & = v \\ \frac{pecado ϕ}{aporrear ϕ} & = v \\ {pecado}^{2} ϕ & = v^{2} {aporrear}^{2} ϕ \\ {aporrear}^{2} ϕ - 1 & = v^{2} {aporrear}^{2} ϕ \\ {aporrear}^{2} ϕ (1 - v^{2}) & = 1 \\ aporrear ϕ & = \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2}}} \\ pecado ϕ & = \sqrt{C o s h^{2} ϕ - 1} \\ = \sqrt{\frac{1}{1 - v^{2}} - 1} \\ = \sqrt{\frac{1 - (1 - v^{2})}{1 - v^{2}}} \\ = \frac{v}{\sqrt{1 - v^{2}}} \end{aligned}

$\begin{align} \tanh\phi &= v\\ \frac{\sinh\phi}{\cosh\phi} & = v\\ \sinh^{2}\phi &= v^{2} \cosh^{2}\phi\\ \cosh^{2}\phi -1 &= v^{2}\cosh^{2}\phi\\ \cosh^{2}\phi\left(1 - v^{2}\right) &= 1\\ \cosh\phi &= \frac{1}{\sqrt{1-v^{2}}}\\ \sinh\phi &= \sqrt{cosh^{2}\phi -1}\\ &= \sqrt{\frac{1}{1-v^{2}} - 1}\\ &= \sqrt{\frac{1 - (1-v^{2}) }{1-v^{2}}}\\ &= \frac{v}{\sqrt{1-v^{2}}} \end{align}$

Puedes averiguar el resto

Trimok · Answer 3

La ley de transformación para un vector covariante $e$ (como un vector base), es:

\begin{matrix} (1) & {mi}_{i} = \frac{\partial X^{m}}{\partial X^{i}} {mi}_{m} \end{matrix}

$e_i = \frac{\partial x^\mu}{\partial x^i} e_\mu \tag{1}$

Para un tensor de 2 covariantes como la métrica $g$ , la ley de transformación es:

\begin{matrix} (2) & {gramo}_{i j} = \frac{\partial X^{m}}{\partial X^{i}} \frac{\partial X^{v}}{\partial X^{j}} {gramo}_{m v} \end{matrix}

$g_{ij} = \frac{\partial x^\mu}{\partial x^i} \frac{\partial x^\nu}{\partial x^j} g_{\mu\nu} \tag{2}$

Esto simplemente significa que $g_{ij}$ se transforma como $e_i e_j$

La relación entre $e_i^\mu$ y las derivadas parciales es simplemente:

\begin{matrix} (3) & {mi}_{i}^{m} = \frac{\partial X^{m}}{\partial X^{i}} \end{matrix}

$e_i^\mu = \frac{\partial x^\mu}{\partial x^i}\tag{3}$ Entonces, puedes escribir:

\begin{matrix} (4) & {mi}_{i} = {mi}_{i}^{m} {mi}_{m}, {gramo}_{i j} = {mi}_{i}^{m} {mi}_{j}^{v} {gramo}_{m v} \end{matrix}

$e_i = e_i^\mu e_\mu, \qquad g_{ij} = e_i^\mu e_j^\nu g_{\mu\nu}\tag{4}$

Entonces, $e_i^\mu$ es la componente del nuevo vector base $e_i$ , en el viejo vector base $e_\mu$

el solador · Answer 4

El problema proviene de la representación euclidiana de la ortogonalidad de dos vectores en el espacio minkowskiano: el producto escalar de dos vectores x,y con coordenadas $x_{i},y_{i}$ (en 2D) se define en el sentido de la geometría de Minkowski por $xy=x_{1}y_{1}-x_{2}y_{2}$ .

Los dos vectores son perpendiculares entre sí en el sentido de Minkowski si $xy=x_{1}y_{1}-x_{2 }y_{2}=0$ , en el sentido euclidiano, esta igualdad traduce la simetría de las direcciones de los dos vectores con respecto a las bisectrices de los ángulos coordenados. En particular, dos vectores ubicados en la misma bisectriz son perpendiculares entre sí en la geometría de Minkowski.

Andrés Steane · Answer 5

Creo que el diagrama te puede estar confundiendo. Ese diagrama no muestra nada "torcido". El $x'$ y $ct'$ los ejes son ortogonales aquí en el sentido del espacio-tiempo. En el diagrama (con escalas elegidas de la manera estándar), dos vectores de 4 son ortogonales si una línea que divide el ángulo entre ellos es de 45 grados.

agrio · Answer 6

En el marco de reposo de uno, los ejes x y ct son otogonales... x'-ct' son ortogonales al observador que se mueve con el marco preparado (marco de reposo de los observadores preparados)... pero en un marco el otro marco lo hace no tiene ortogonalidad... de hecho, invariancia (ver Demostrando que el tensor métrico de Minkowski es invariante bajo las transformaciones de Lorentz) del tensor métrico diag. (1,-1,-1,-1) está justificado desde la perspectiva anterior... desde la perspectiva posterior, es como pedir nuevos componentes (primados) del tensor métrico sobre la base anterior y solo obtienes el término diagonal. ..todo esto está relacionado con la ilusión de dibujar: tratar de poner la coordenada de 'tiempo' en su 'papel' donde inconscientemente asumimos un comportamiento espacial al tiempo (en la relatividad especial todo se mezcla pero no en el mismo pie; ver +; - ambos términos de métrica): tal idea se me ocurrió mientras veía notas escritas al lado de una figura de Goldstein (cl. mech.; capítulo apropiado)

Me temo que esto realmente no aborda la pregunta tal como se planteó.

¿Cómo afecta la transformación de Lorentz al tensor métrico?

usuario215721

usuario4552

jw_

Respuestas (6)

Vibert

Emilio Pisanty

Vibert

Emilio Pisanty

jerry schirmer

Trimok

el solador

el solador

Andrés Steane

agrio

Emilio Pisanty

¿Por qué es necesario que diferentes observadores estén de acuerdo en el valor del intervalo de espacio-tiempo ds2ds2ds^2?

Prueba de unicidad de transformación entre marcos relativistas

Demostrar y=y′,z=z′y=y′,z=z′y=y',z=z' en la transformación de Lorentz

Impulso puro de Lorentz; transponer ≠≠\neq inversa?

La homogeneidad del espacio implica la linealidad de las transformaciones de Lorentz

¿Las transformaciones de Lorentz son transformaciones lineales? [duplicar]

Derivación de la transformación de Lorentz

Rotación hiperbólica del espacio-tiempo y transformación de Lorentz

¿Cómo derivar el intervalo de espacio-tiempo de la transformación de Lorentz?

Un problema para derivar la transformación de Lorentz a partir de la homogeneidad y la isotropía del espacio-tiempo y el principio de relatividad