¿Cómo concluir que un vector es similar al espacio?

Question

¿Cómo concluir que un vector es similar al espacio?

Conjuntos

Estoy trabajando con el producto interno lorenztiano y me gustaría mostrar que si un vector $v$ es como la luz, por lo que $\langle v,v\rangle =0,$ y si $\langle v,w\rangle =0,$ entonces tambien $w$ es espacial o $w$ es proporcional a $v.$

Hasta ahora tengo eso desde $\langle v,v\rangle =0,$ entonces

v_{0}^{2} = v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{3}

$v_0^2 = v_1^2 +v_2^2 +v_3^3$ y desde

⟨ v, w ⟩ = 0,

$\langle v,w\rangle =0,$ entonces

v_{0} w_{0} = v_{1} w_{1} + v_{2} w_{2} + v_{3} w_{3} .

$v_0w_0 = v_1w_1 + v_2w_2 + v_3w_3.$ Creo que entonces puedo concluir que desde

\begin{aligned} v_{0} v_{0} & = v_{1} v_{1} + v_{2} v_{2} + v_{3} v_{3}, \\ v_{0} w_{0} & = v_{1} w_{1} + v_{2} w_{2} + v_{3} w_{3} \end{aligned}

$\begin{align*} v_0v_0 &= v_1v_1 +v_2v_2 +v_3v_3, \\ v_0w_0 &= v_1w_1 + v_2w_2 + v_3w_3 \end{align*}$ entonces

v_{0} = w_{0}, v_{1} = w_{1}, v_{2} = w_{2}, v_{3} = w_{3} .

$v_0=w_0,v_1=w_1, v_2=w_2, v_3=w_3.$ ¿Significa esto que

v

$v$ y

w

$w$ son proporcionales? No estoy seguro de cómo concluir eso

w^{a}

$w^a$ también podría ser espacial a partir de la suposición.

usuario130529

¿Cuál es la diferencia (si la hay) entre

v

$v$ y

v^{a}

$v^a$ ?

Conjuntos

no hay diferencia entre

v

$v$ y

v^{a} .

$v^a.$ Simplemente no usé la notación de índice dentro del producto interno.

usuario130529

Si no hay diferencia, le sugiero que elimine los subíndices innecesarios.

^{a}

$^a$ . Será más fácil para el lector.

usuario130529

No puedes concluir que

v_{0} = w_{0}, v_{1} = w_{1}, v_{2} = w_{2}, v_{3} = w_{3}

$v_0=w_0,v_1=w_1, v_2=w_2, v_3=w_3$ de las dos ecuaciones anteriores. Por cierto, eso significaría más que ser proporcional, significaría ser igual.

usuario130529

Pista: puedes suponer que

v_{2} = v_{3} = 0

$v_2=v_3=0$ (eligiendo un marco apropiado). Muestre entonces que

- w_{0}^{2} + w_{1}^{2} = 0

$-w_0^2+w_1^2 = 0$ , y concluir que

w

$w$ es similar al espacio o similar a la luz.

Frobenius

@claude chuber: Creo que debes publicar tu comentario como respuesta.

Frobenius

Si entiende alguna respuesta correcta a su pregunta, no tenga miedo de aceptarla como la mejor opción para votarla.

Respuestas (1)

¿Cómo concluir que un vector es similar al espacio?

no hay diferencia entre $v$ y $v^a.$ Simplemente no usé la notación de índice dentro del producto interno.
Si no hay diferencia, le sugiero que elimine los subíndices innecesarios. $^a$ . Será más fácil para el lector.
No puedes concluir que $v_0=w_0,v_1=w_1, v_2=w_2, v_3=w_3$ de las dos ecuaciones anteriores. Por cierto, eso significaría más que ser proporcional, significaría ser igual.
Pista: puedes suponer que $v_2=v_3=0$ (eligiendo un marco apropiado). Muestre entonces que $-w_0^2+w_1^2 = 0$ , y concluir que $w$ es similar al espacio o similar a la luz.
@claude chuber: Creo que debes publicar tu comentario como respuesta.
Si entiende alguna respuesta correcta a su pregunta, no tenga miedo de aceptarla como la mejor opción para votarla.

usuario130529 · Answer 1

usuario130529

Pista: puedes suponer que $v_2=v_3=0$ (eligiendo un marco apropiado). Muestre entonces que $−w_0^2+w_1^2=0$ , y concluir que $w$ es similar al espacio o similar a la luz.

Conjuntos

Para

w

$w$ ser como el espacio, no

- w_{0}^{2} + w_{1}^{2} > 0 ?

$-w_0^2 + w_1^2 >0?$ Pensé que si es igual a cero, entonces es como una luz.

Frobenius

@Setsss:

\begin{matrix} (01) & - w_{0}^{2} + w_{1}^{2} = 0 \end{matrix}

$-w_0^2+w_1^2=0 \tag{01}$

\begin{matrix} (02) & w_{2}^{2} + w_{3}^{2} \geq 0 \end{matrix}

$w_2^2+w_3^2\ge0 \tag{02}$ entonces

\begin{matrix} (03) & - w_{0}^{2} + w_{1}^{2} + w_{2}^{2} + w_{3}^{2} \geq 0 \end{matrix}

$-w_0^2+w_1^2+w_2^2+w_3^2\ge0 \tag{03}$

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