Motivación para el uso de 4 vectores en relatividad especial

Entiendo que si uno considera un espacio-tiempo de 4 dimensiones desde el principio, entonces los 4 vectores son las cantidades naturales a considerar (a diferencia de los 3 vectores como en la mecánica newtoniana), ya que el espacio tangente del espacio-tiempo en un dado el punto será necesariamente de 4 dimensiones. [Con la noción de espacio-tiempo motivada por el hecho de que en la relatividad especial el tiempo es una cantidad dependiente del marco y, como tal, ya no es independiente del espacio, los dos están inextricablemente vinculados ya que la coordenada de tiempo en un marco se convierte en una mezcla de coordenadas de espacio y tiempo en otro marco. Dado que este espacio-tiempo es de 4 dimensiones, se requieren 4 coordenadas para especificar la ubicación de un evento dentro de él.]

Sin embargo, ¿hay alguna manera de motivar el uso de 4 vectores antes de introducir la noción de espacio-tiempo?

¿Tiene algo que ver con el hecho de que tanto las coordenadas espaciales como las temporales se transforman de manera no trivial bajo las llamadas transformaciones de Lorentz (para garantizar que la velocidad de la luz sea independiente del marco) y, como tal, el intervalo espacial

d s ~ 2 = d X 2 + d y 2 + d z 2
ya no es invariante, sino el llamado intervalo de espacio-tiempo
d s 2 = − C 2 d t 2 + d X 2 + d y 2 + d z 2
es invariante. Como tal, los 3-vectores no se transforman correctamente bajo las transformaciones de Lorentz (sus longitudes no son invariantes de Lorentz) y debemos considerar objetos que se transforman covariantemente bajo tales transformaciones de modo que sus módulos sean invariantes, es decir, 4-vectores.

No estoy seguro de si nos dirigimos al uso de 4 vectores como consecuencia de la introducción del espacio-tiempo o si existen otras motivaciones para su uso antes de esto.

" Las concepciones del espacio y el tiempo que deseo presentarles han brotado del terreno de la física experimental, y ahí radica su fuerza. Son radicales. De ahora en adelante, el espacio en sí mismo, y el tiempo en sí mismo, están condenados a desvanecerse en meras sombras, y sólo una especie de unión de los dos preservará una realidad independiente " H.MINKOWSKI en ESPACIO Y TIEMPO, 21 de septiembre de 1908.

Respuestas (2)

El conjunto de transformaciones que deja invariable la velocidad de la luz es el grupo de Lorentz. La teoría de la representación nos permite investigar las representaciones irreducibles del grupo de Lorentz.

Las representaciones de menor dimensión actúan sobre

  • escalares
  • cuatro vectores

Sin embargo, tenga en cuenta que generalmente consideramos representaciones del álgebra de Lie correspondiente s o ( 3 , 1 ) . Entre las representaciones irreducibles de este álgebra de Lie hay representaciones adicionales que no son representaciones del grupo de Lorentz. Estas representaciones corresponden a la doble tapa del grupo de Lorentz y entre ellas se encuentra la famosa representación de espinor que describe el espín 1 2 partículas De manera similar, en la física de partículas, los escalares describen el giro 0 partículas y partículas de cuatro vectores con espín 1 .

¿Se podría argumentar a favor del uso de 4 vectores de la siguiente manera? De los postulados de Einstein nos lleva naturalmente a las transformaciones de Lorentz, que relacionan las coordenadas de un marco de referencia inercial con otro. Al hacerlo, se encuentra que el tiempo es, de hecho, una cantidad dependiente del marco y, además, las coordenadas espaciales y temporales se mezclan bajo tales transformaciones, lo que demuestra que el espacio y el tiempo no son, de hecho, independientes, sino que deben considerarse como un continuo de 4 dimensiones, que llamamos espacio-tiempo ...
... Entonces, naturalmente, nos vemos llevados a considerar vectores de 4 dimensiones, ya que estos abarcan todo el espacio y, además, se transforman bajo transformaciones de Lorentz de tal manera que las ecuaciones que describen los fenómenos físicos son invariantes de Lorentz, un requisito de los postulados de Einstein. Un argumento adicional para su uso es que en la relatividad especial es el intervalo de espacio-tiempo el que es una cantidad invariante y no el elemento lineal tradicional de Pitágoras como en la mecánica clásica...
... Se ve que las longitudes de 4 vectores se conservan en este caso, mientras que las longitudes de 3 vectores no, por lo que debemos construir ecuaciones físicas a partir de cantidades de 4 vectores (también escalares y tensores). ¿Sería esta una evaluación correcta en absoluto?
@user35305 Sí, me parece correcto

En relatividad especial hay dos suposiciones principales: -las leyes de la física son las mismas en todos los marcos inerciales -la velocidad de la luz que observas es siempre la misma (por lo tanto, independiente del movimiento relativo entre la fuente de luz y el observador). De estos dos supuestos se derivan las famosas transformaciones de Lorentz. En estas transformaciones de Lorentz el tiempo y el espacio ocurren entrelazados, no aparecen en el conjunto de ecuaciones de forma independiente.

En la relatividad especial, ya no se puede ver la ubicación y el tiempo como dos cosas separadas.

Entonces, si, por ejemplo, se lleva a cabo un evento, debe proporcionar tres coordenadas y una hora para brindar la información. Las posiciones y el tiempo por sí solos ya no tienen mucho sentido. Por lo tanto, es conveniente escribir esto en un vector y desarrollar un marco matemático a su alrededor.

Entonces, ¿el uso de 4 vectores se deriva puramente del hecho de que el tiempo y el espacio están entrelazados por las transformaciones de Lorentz? Entonces, ¿por qué solo se usan 3 vectores en la mecánica newtoniana, es simplemente porque el tiempo es absoluto en este caso y, por lo tanto, es independiente del espacio, lo que nos permite describir ubicaciones espaciales de objetos y parametrizarlos por tiempo?
Eso es esencialmente correcto. La elección de usar 4 vectores también es simplemente una cuestión de conveniencia. Maxwell originalmente trabajó con las ecuaciones de campo en términos de cuaterniones, lo cual es realmente horrendo. Los 4 vectores en realidad se definen como "4 vectores" solo cuando prescribimos cómo se transforman bajo alguna operación. Para la mecánica newtoniana, asumimos la invariancia galileana, en la que las velocidades se suman linealmente (que dependen de una noción fija de tiempo). En relatividad especial, asumimos la invariancia de Lorentz.
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