Vectores propios de una rotación 4D y su interpretación

Para ser honesto, me cuesta interpretar geométricamente lo que está pasando aquí cuando uso cuaterniones o bicuaterniones o cualquier otra cosa. Toda el álgebra de rotaciones en 4d es manejada adecuadamente por un álgebra geométrica, con los elementos de esa álgebra teniendo claras interpretaciones geométricas. Las matemáticas son similares a los cuaterniones, pero difieren en algunos aspectos conceptuales.

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Bien, Muphrid, ¿qué es el álgebra geométrica y cómo puede ayudarnos a hablar sobre las rotaciones?

El álgebra geométrica es una especie de álgebra de Clifford. Postula un "producto geométrico" entre vectores que se denota por yuxtaposición, por lo que el producto geométrico de dos vectores$a$y$b$se denota$ab$. Este producto tiene las siguientes propiedades:

$$aa = |a|^2, \quad (ab)c = a(bc)$$

A partir de estas dos propiedades, se obtiene una gran cantidad de estructuras útiles para complementar el álgebra vectorial tradicional. Los más relevantes aquí son los bivectores , que representan planos orientados. Dados cuatro vectores base ortonormales$e_1, e_2, e_3, e_4$, obtienes los siguientes bivectores unitarios:

$$\text{Bivectors:} \, e_1 e_2, e_2 e_3, e_3 e_1, e_1 e_4, e_2 e_4, e_3 e_4$$

El producto geométrico de vectores también produce objetos llamados rotores , que son análogos a los cuaterniones en el sentido de que realizan rotaciones. Por ejemplo, en 3d puedes multiplicar dos vectores$a$y$b$para obtener lo siguiente:

$$a b = (a^1 b^1 + a^2 b^2 + a^3 b^3) + (a^2 b^3 - a^3 b^2) e_2 e_3 + (a^3 b^1 - a^1 b^3) e_3 e_1 + (a^1 b^2 - a^2 b^1) e_1 e_2$$

Tiene cuatro términos, como un cuaternión. De hecho, se pueden realizar las siguientes identificaciones:

$$i = -e_2 e_3, \quad j = -e_3 e_1, \quad k = - e_1 e_2$$

Una ventaja que tiene el álgebra geométrica sobre los cuaterniones es que los cuaterniones tienen que cumplir una doble función: se usan cuaterniones imaginarios puros para representar vectores. GA no hace esto; los vectores y los rotores se mantienen claramente separados según sus propiedades geométricas y su función. nunca te confundirías$e_1$--un vector--con$e_1 e_2$--un bivector.

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Pero Muphrid, ¿qué pasa con 4d? ¿No es eso lo que nos interesa aquí?

Correcto, hablemos del álgebra geométrica del espacio euclidiano 4d. Como dije, hay seis bivectores unitarios, y es posible que hayas notado que había seis imaginarios involucrados cuando hablas de dos cuaterniones. No es una coincidencia. GA nos permite manejar eso directamente, en lugar de piratear cuaterniones para que todo funcione.

Así es como: hay un concepto importante de dualidad, que representamos a través de la multiplicación por el pseudoescalar , que llamaré$\epsilon = e_1 e_2 e_3 e_4$. El pseudoescalar multiplicado por un bivector devuelve el bivector ortogonal correspondiente. Veamos cómo:

$$\epsilon e_1 e_2 = - e_3 e_4, \quad \epsilon e_2 e_3 = - e_1 e_4, \quad \epsilon e_3 e_1 = - e_2 e_4$$

Esta es la razón por la que puede salirse con la suya usando dos cuaterniones o bicuaterniones: cualquier bivector se puede expresar como una combinación lineal de la siguiente manera:

$$B = (\alpha e_1 e_2 + \beta e_2 e_3 + \gamma e_3 e_1) + \epsilon (\lambda e_1 e_2 + \mu e_2 e_3 + \nu e_3 e_1)$$

De nuevo,$\epsilon = e_1 e_2 e_3 e_4$, y$\epsilon \epsilon = -1$, como sucede. Actúa como otra unidad imaginaria más, dividiendo los muy complicados rotores de 4d en 2 rotores similares a 3d.

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Muphrid, ¿qué nos dice eso acerca de los vectores propios (o bivectores propios, o rotores propios) de una operación de rotación general en 4d?

Estos se entienden más fácilmente utilizando la descomposición isoclínica doble.

Deje que un bivector de rotación general se dé como$B = U + \epsilon V$, dónde$U, V$son combinaciones lineales de$e_1 e_2, e_2 e_3, e_3 e_1$. Dejar$I_\pm = (1 \pm \epsilon)/2$, entonces podemos reescribir$B$como

$$B = I_+ X + I_- Y, \quad X = (U+V)/2, \quad Y = (U-V)/2$$

Las rotaciones usando$I_+ X$y$I_- Y$ambos son "isoclínicos", lo que significa que cada uno gira en dos planos ortogonales en el mismo ángulo. La rotación correspondiente toma la forma

$$\underline R(a) = I_+ \exp(X) a \exp(-Y) + I_- \exp(Y) a \exp(-X)$$

Fuera de los casos especiales en los que$X$y$Y$son linealmente dependientes, no puedo ver ningún vector individual que, en general, sea un vector propio.

Para autobivectores, la serie de potencias de una exponencial$\exp(B)$nos dice que$B$y$\epsilon B$ambos son bivectores propios, lo cual es un análisis mucho más fácil.