Tensores invariantes de grupos simplécticos y excepcionales.

Question

Tensores invariantes de grupos simplécticos y excepcionales.

Física
teoría de grupos
supersimetría
representaciones de grupo

Orbifold

Sabemos que para grupos ortogonales especiales $SO(N)$ existen tensores invariantes (invariante bajo la acción de grupo). Estos son $\delta_{ij}$ y el totalmente antisimétrico $\epsilon_{m_1,m_2,...m_N}$ tensor.

Del mismo modo para $SU(N)$ los tensores invariantes son $\delta_k^i$ , $\epsilon_{m_1,m_2,...m_N}$ y $\epsilon^{m_1,m_2,...m_N}$ ( $\delta_k^i$ es un tensor invariante de $U(N)$ también pero no así para el $\epsilon$ 's).

Estos objetos son muy útiles para construir singletes a partir de objetos que se transforman bajo representaciones de $SO(N)$ o $SU(N)$ .

Pregunta 1: ¿Existen tales tensores para el grupo simpléctico y los grupos excepcionales? Estoy particularmente interesado en los grupos. $Sp(2N)$ y $E_7$ . ¿Existe un método sistemático para obtener el mismo?

Pregunta 2. Esta pregunta es solo por curiosidad. ¿Podemos encontrar también tensores invariantes para supergrupos como $OSp(4|\mathcal{N})$ o $SU(2,2|\mathcal{N}/2)$ que aparece en numerosos $\mathcal{N}$ ¿Teorías de campo supersimétricas extendidas?

Respuestas (1)

Tensores invariantes de grupos simplécticos y excepcionales.

seguro · Answer 1

Aquí hay una respuesta parcial: Definir $Sp(2N,\mathbb{R})$ como el grupo de matrices $S$ tal que $S \cdot\Omega\cdot S^T=\Omega$ dónde $\Omega_{ij}$ es una matriz antisimétrica no degenerada. Entonces $\Omega_{ij}$ es un tensor invariante similar al delta de Kronecker para transformaciones ortogonales. No creo que haya más (no estoy 100% seguro).

Para $E_7$ : $E_7$ puede definirse como el grupo que conserva un tensor de segundo rango antisimétrico $g_{\mu\nu}$ y un tensor de cuarto rango totalmente simétrico $f_{\mu\nu\rho\sigma}$ con $\mu,\nu,\rho,\sigma=1,2,\ldots, 56$ (es decir, la representación de 56 dimensiones es la representación definitoria). Con más detalle:

{gramo}_{m_{1} m_{2}} = (S_{m_{1}})^{v_{1}} (S_{m_{2}})^{v_{2}} {gramo}_{v_{1} v_{2}},

$g_{\mu_1\mu_2} = (S_{\mu_1})^{\nu_1}\ (S_{\mu_2})^{\nu_2}\ g_{\nu_1\nu_2} \ ,$ con una similar para el otro tensor.

El $E_7$ La descripción se describe en el libro de teoría de grupos de P. Cvitanovic . Puedes echar un vistazo allí a los grupos supersimétricos para los que tiene un enfoque interesante.

¡Sí, claro! Esto viene por definición. ¿Hay algún otro?
@Orbifold He actualizado mi respuesta para incluir el $E_7$ caso. No sabía esa respuesta en la parte superior de mi cabeza y tuve que buscarla.

Tensores invariantes de grupos simplécticos y excepcionales.

Orbifold

Respuestas (1)

seguro

Orbifold

seguro

¿Es una teoría de supergauge SU(2)SU(2)SU(2) realmente una teoría de calibre SU(2)SU(2)SU(2)?

(12,12)(12,12)(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) representación de SU(2)⊗SU(2)SU(2)⊗SU(2)SU (2)\oveces SU(2)

¿Existen representaciones irreducibles no triviales potencialmente útiles conocidas del Grupo de Lorentz O(3,1)O(3,1)O(3,1) de dimensión mayor que 4? ¿Ejemplos?

Reglas de bifurcación para SU(3)SU(3)SU(3)

Reglas de transformación de supercarga

¿Por qué representaciones en lugar de solo grupos?

¿Pueden las representaciones irreducibles de dimensión finita (j+,j−)(j+,j−)(j_+,j_-) del grupo de Lorentz SO(3,1)SO(3,1)SO(3,1) ser unitarias?

Representaciones infinitas de SO(2)SO(2)SO(2)

E7(7)E7(7)E_{7(7)} simetría en (N=8,d=4)(N=8,d=4)(\mathcal{N}=8, d=4) Supergravedad

¿Qué significa que un entrelazador respete una acción de grupo?