Reglas de bifurcación para SU(3)SU(3)SU(3)

¿Cómo se calculan las reglas de bifurcación para S tu ( 3 ) → S tu ( 2 ) × tu ( 1 ) .?

En particular, no sé cómo poner los cargos abelianos.

Tomemos por ejemplo el adjunto 8 de S tu ( 3 ) .

Puedo ver que se descompone como 8 → 3 + 2 ⋅ 2 + 1 .

Pero, ¿cómo averiguo las representaciones de la tu ( 1 ) ¿factor?

Además, ¿existe un procedimiento general o un programa informático específico para calcular estas reglas de bifurcación? Por ejemplo, ¿cómo se procedería con el cálculo de las reglas de bifurcación de S tu ( 5 ) ?

Relacionado: math.stackexchange.com/q/587761/11127 , que menciona un paquete de software LieArt . Véase también el paquete de software LiE .
Esta pregunta (v2) parece un arquetipo de un problema matemático que se encuentra en muchas áreas de la física, por ejemplo, QCD, y que la comunidad quiere constantemente que no se migre a Math.SE, cf. esta meta publicación .
@Qmechanic De acuerdo, me gustaría ver esto respondido aquí.
@Qmecanico. Lo siento, no entiendo lo que dijiste. ¿Debería haber publicado esto en math.SE?
Bueno, la gente en Phys.SE está dividida sobre el tema. ¿Quieres que lo migre a Math.SE?

Respuestas (1)

Usaré una notación que probablemente conozcas. Denotaré las representaciones de grupo por etiquetas de Dynkin. Considera lo siguiente:

[ 1 , 0 ] 3 = [ 1 ] 2 q 1 + [ 0 ] 2 q 0   ,
y
[ 0 , 1 ] 3 = [ 1 ] 2 q − 1 + [ 0 ] 2 q 0   .
Dónde q es el tu ( 1 ) -Encargado de la representación. Por Dynkin diagramas el S tu ( 3 ) el álgebra se puede representar como 0---0 y la simetría de reflexión corresponde a la conjugación compleja. Por lo tanto, conocemos el representante adjunto [ 1 , 1 ] 3 para ser real, porque se necesita 3 y su conjugado 3 ¯ en el mismo pie; este razonamiento se aplica también a la acusación abeliana. Por lo tanto, esto se manifiesta en descomposición de la siguiente manera
[ 1 , 1 ] 3 = [ 2 ] 2 q 0 + [ 1 ] 2 ( q 1 + q − 1 ) + [ 0 ] q 0   .

Puedo estar equivocado, pero el tu ( 1 ) los cargos aquí no se ven muy bien: deberían sumar 0 en cualquier representación R de S tu ( 3 ) , desde Tr R ( T ) = 0 para cualquier generador T en S tu ( 3 ) , en particular para el generador de tu ( 1 ) . El tu ( 1 ) Las cargas dadas aquí parecen ser cargas bajo una combinación lineal de las tu ( 1 ) en S tu ( 3 ) y el tu ( 1 ) ≃ tu ( 3 ) / S tu ( 3 ) . Esa pieza se cancela en representaciones reales como el adjunto, pero no en las representaciones fundamental/antifundamental. (Ah, y arreglé un error tipográfico menor).
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