¿Por qué representaciones en lugar de solo grupos?

Esta pregunta esencialmente pide una aclaración sobre lo que ya se ha dicho en esta . Lo que no entiendo es por qué son las representaciones las que son importantes en la teoría cuántica de campos en lugar de solo el grupo en sí. ¿Las representaciones agregan una estructura adicional que el grupo no poseía? Si es así, ¿cómo sabemos que queremos esa estructura en nuestra teoría? (si hay una razón distinta a la observación empírica)

O para formular la pregunta de otra manera: ¿ hay alguna manera de escribir Teorías Cuánticas de Campos con ciertas simetrías en una forma libre de representación? (por ejemplo, el modelo estándar).

¿De qué serviría un grupo sin representación? Cada vez que un grupo actúa de manera "agradable" en un vector, obtienes una representación. Sin representación significa que no hay acciones grupales, y entonces, ¿qué relevancia tiene el grupo? no entiendo la pregunta
En un momento pensé lo mismo, pensando que una representación era como una elección de base, y que todo podía reformularse de una manera independiente de la base o representación. Pero esto no es cierto, ni siquiera en la mecánica cuántica: las diferentes representaciones de S tu ( 2 ) darte partículas con diferentes giros! La estructura de grupo común simplemente te dice que estás lidiando con la rotación; necesita la representación para decirle el resto.
@knzhou Creo que esto ya casi responde a mi pregunta. ¿Puedo preguntar qué es exactamente lo que añaden las representaciones en sentido estructural? ¿Cómo surgen los diferentes giros del grupo? (Si eso tiene algún sentido)
@ACuriousMind lo que dijo knzhou tiene mi pregunta en su primera parte esencialmente.
Bueno, no tienes idea de qué elementos de tu grupo GRAMO prescindir de tomar una representación. Por ejemplo, podrías pensar que algún elemento gramo representa, digamos, una rotación de 45 grados sobre el z eje. Pero para decir eso, has elegido implícitamente la representación vectorial, es decir, así es como gramo actúa sobre v si v ∈ R 3 y está en la representación vectorial. Sin hacer esto, gramo no tiene ningún significado físico en absoluto.
No, una representación no es solo una elección de base (¿base para qué?), pero aun así conecta al grupo a un espacio vectorial. Un espacio vectorial (o uno de sus subespacios invariantes) puede comportarse según una representación. Para diferentes partículas, necesita espacios distintos para tratarlas. Pueden tener diferente dimensionalidad y necesitar diferentes representaciones del mismo grupo.
Parte de la confusión proviene del hecho de que los grupos de Lie a menudo se presentan como grupos matriciales , es decir S tu ( norte ) está escrito en términos de norte × norte matrices unitarias, etc. Esto no es "el grupo" en el sentido más abstracto; es una representación particular del grupo, llamada representación fundamental.
@knzhou Creo que ahora entiendo, ¡gracias por tu ayuda!

Respuestas (2)

La teoría del campo cuántico no es un estudio de grupos, sino un estudio de estados físicos y observables. Los grupos son interesantes solo porque actúan sobre los objetos de interés real. La teoría de la representación es sólo el estudio de tales acciones; si no hay representación de un grupo en objetos interesantes, el grupo en sí no es interesante para QFT.

Así, la pregunta que uno podría hacerse es más bien por qué estudiamos los grupos y no sólo las representaciones. La respuesta sería que la noción abstracta del grupo encapsula la estructura más simple presente en una representación, y luego la representación se ve como una estructura extra sobre el grupo y el espacio de los objetos interesantes.

Las representaciones representan elementos de grupo (álgebra) como operadores lineales en un espacio vectorial, en física los espacios vectoriales también suelen ser de Hilbert y los operadores suelen ser ortogonales o unitarios (auto-adjuntos), por lo que introducen bastante estructura adicional. La pieza más simple de ver es que la representación no tiene que ser fiel, es decir, la imagen del grupo en el grupo de operadores no tiene que ser isomorfa al grupo en sí. En términos descriptivos, si pensamos en la representación como una descripción de las simetrías de un sistema físico, solo una parte (o mejor dicho, una versión reducida) de las simetrías permitidas puede estar presente. Pero incluso si las representaciones son fieles y sus imágenes son isomorfas al grupo, aún pueden implementar simetrías de manera diferente. Por ejemplo, una representación puede ser reducible,vector cíclico que "genera" todo el espacio). La descomposición de las representaciones reducibles en irreducibles se puede usar para dividirlas en componentes más simples (a menudo llamados sectores de superselección ), cuyo comportamiento es más fácil de analizar.

En sistemas de infinitas dimensiones también es posible que las representaciones no sean unitariamente equivalentes, no existe un mapa unitario entre sus espacios vectoriales que corresponda a sus operadores en consecuencia. Dado que la equivalencia unitaria refleja la equivalencia física, esto significa que diferentes representaciones corresponden a sistemas físicamente distintos. Wallace analiza este tema en detalle en su artículo QFT Lagrangiano (Sec. 4), y da un ejemplo simple:"Para ver cuáles son estos sectores, supongamos que comenzamos con todos los componentes girando. Entonces, la acción de cualquier elemento del álgebra puede, a lo sumo, hacer que un número finito de componentes pierdan su giro. Por lo tanto, ninguna cantidad de acción algebraica puede transformar tal estado en uno en el que, digamos, cada segundo componente haya girado. Este estado, a su vez, puede transformarse en otros estados que difieren de él en un número finito de lugares, pero no en un estado en el que todos los componentes estén girando hacia abajo... " En QFT en sí mismo, las representaciones "infrarrojas" no equivalentes pueden reflejar diferentes masas. densidades en el infinito, diferentes cargas totales o vacíos no equivalentes para los correspondientes sistemas de campos cuánticos.Así que la respuesta a la pregunta en negrita es no, las diferencias en las representaciones reflejan diferencias en la física.

¿Por qué representaciones en lugar de solo grupos?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v