¿Son las matrices de rotación representaciones fieles del grupo de rotación?

Dado un entero no negativo$j\in\mathbb{N}_0$, El giro-$j$ representación de grupo /homomorfismo

$$\rho: SO(3)~\to~ GL(2j+1,\mathbb{R})$$

es fiel /inyectiva iff$j>0$, pero técnicamente hablando, nunca un isomorfismo de grupo, ya que nunca es sobreyectivo,

$${\rm Im}(\rho)~\subsetneq~ GL(2j+1,\mathbb{R}) .$$

Sí las hay, en el sentido de que

$$R(\Omega_1)\cdot R(\Omega_2)= R(\Omega_1\cdot \Omega_2) \Rightarrow \sum_m D^{j}_{m_1m}(\Omega_1)D^j_{mm_2}(\Omega_2) =D^j_{m_1m_2}(\Omega_1\cdot \Omega_2)$$ válido para cualquier $j$, aunque por supuesto encontrando analíticamente $\Omega_1\cdot\Omega_2$en términos de los triples de parámetros $\Omega_1$y $\Omega_2$suele ser desordenado.

El caso$j=1$es la representación definitoria, por lo que las matrices que obtiene son idénticas a las obtenidas mediante la construcción geométrica de rotaciones en 3 espacios. (Por lo general, el$D$están en una base esférica, por lo que debe considerar combinaciones de$\hat x\pm i\hat y$como vectores base.

Una forma de entender por qué esto es cierto es que las matrices de rotación son exponenciales del álgebra.$\{J_x,J_y,J_z\}$, que la una representación fiel del álgebra por$(2j+1)\times (2j+1)$las matrices también exponenciarán a una representación fiel (de la misma dimensión) del grupo.