Motivación.
Recientemente estuve revisando la sección 3.10 en la mecánica cuántica de Sakurai en la que analiza los operadores tensoriales, y me quedé con el deseo de una discusión más matemáticamente general/precisa. Luego hojeé la página de Wikipedia sobre operadores tensoriales y me sentí igualmente insatisfecho. Este es el por qué
En estas discusiones, uno define esencialmente un conjunto indexado de operadores ser un operador tensorial "cartesiano" de rango previsto
Con base en estas definiciones estándar, creo que uno podría definir algo menos "dependiente de las coordenadas" y extendido a las representaciones de cualquier grupo, no solo , como sigue.
Definición de candidato . Deja que un grupo ser dado. Dejar ser una representación unitaria de en un espacio de Hilbert , y deja ser una representación de en un espacio vectorial de dimensión finita, real o complejo . A -función multilineal, lineal con valores de operador se llama operador tensorial relativo al par de representaciones y previsto
para todos y para todos .
Note que si una base por está dado, y si definimos los componentes de en esta base por
Pregunta.
¿Es el tipo de objeto que acabo de definir la formalización/generalización "adecuada" de la noción de operadores tensoriales utilizados en física? parece contener la noción de operador tensorial utilizada en la literatura de física? ¿Hay alguna literatura sobre el tipo de objeto que defino aquí? Creo que la respuesta sería sí, ya que este tipo de cosas me parecen una generalización natural que un físico con mentalidad matemática podría querer estudiar.
La definición candidata de OP es una transcripción directa de la noción de operador tensorial utilizada en física (y, por ejemplo, en la sección 3.10 de Sakurai) en una construcción matemática manifiestamente independiente de las coordenadas. Los operadores tensoriales se utilizan, por ejemplo, en el teorema de Wigner-Eckart .
En esta respuesta, sugerimos la siguiente generalización leve de la definición de candidato de OP. Que se den los cinco elementos siguientes:
Dejar ser un grupo
Dejar sea un espacio de Hilbert complejo.
Dejar ser una representación del grupo .
Dejar ser una representación del grupo.
Dejar Sea un mapa lineal.
Definición. llamemos para - mapa equivalente si
La definición candidata de OP puede verse como un caso especial de definición (*). Por ejemplo, si es una representación de grupo, entonces uno puede dejar en el punto 3 sea la representación del producto tensorial con espacio vectorial
La definición sugerida por joshphysics y aclarada por Qmechanic ya existe en la literatura bajo el nombre de operador de representación . Esto se analiza, por ejemplo, en Teoría y física de grupos de Sternberg , así como en el texto algo más elemental Una introducción a los tensores y la teoría de grupos para físicos de Jeevanjee.
En el primer capítulo de Lie Groups for Pedestrians de Lipkin, se proporciona un método de generalización de operadores tensoriales irreducibles (y otras características del álgebra de momento angular de la mecánica cuántica).
La afirmación es que mientras uno pueda encontrar un número finito de operadores satisfaciendo relaciones de conmutación análogas a las de los operadores de momento angular en la mecánica cuántica, es decir
siempre es posible encontrar operadores tensoriales irreducibles. Uno puede entonces, en analogía con , elija uno (o varios) operadores para que sean diagonales en la representación deseada. Además, se puede extraer la analogía de los operadores de escalera .
Para el momento angular ( ), los operadores tensoriales irreducibles se dan en términos de la relación
dónde es el número de componentes y es el rango del tensor. Existen valores para , que va desde a .
Se pueden construir operadores de tensor análogos a partir de cualquier álgebra de la forma anterior. Tenga en cuenta que el objeto crucial es el álgebra de Lie, no el grupo de Lie, que se puede formular como el grupo de transformaciones continuas dado por
Esta no es una respuesta rigurosa ya que no he resuelto la prueba yo mismo. Solo puedo recomendarte que leas el libro.
La generalización de los "armónicos de tensores esféricos" de la mecánica cuántica a un caso general de un grupo de Lie compacto se da de la siguiente manera: Sea ser un grupo de Lie compacto y Sea un subgrupo cerrado, entonces, el espacio de Hilbert de funciones cuadradas integrables en (que pueden tomarse como las funciones propias del Killing Laplacian) es una suma directa de -representaciones llamadas "representaciones esféricas". Estas representaciones se caracterizan por tener un camiseta. Véase, por ejemplo, el apéndice B de ANÁLISIS DE ARMÓNICOS Y PROPAGADORES EN ESPACIOS HOMOGÉNEOS de Camporesi. Esta definición generaliza (y recibió su nombre) los armónicos esféricos de la mecánica cuántica. En este caso , y . La condición de esfericidad implica que los armónicos esféricos solo pueden ser representaciones que contengan un singlete, por lo tanto debe ser de espín entero.
Si quieres un punto de vista más geométrico, este enlace es un buen comienzo. Es el primer capítulo de Applications of Classical Physics de Blandford y Thorne. La ventaja de la formulación es que las leyes de transformación de los tensores se pueden derivar naturalmente de las leyes de transformación de los vectores. Luego, si desea que sus tensores se transformen de cierta manera, simplemente modifique las leyes de transformación de sus vectores.
He aquí un resumen muy rápido (para tensores cartesianos, es decir, nuestros vectores viven en el espacio euclidiano): un rango- tensor se define como una función de vectores a un número real, por ejemplo, un tensor de rango dos podría escribirse como
tenga en cuenta que un vector puede considerarse como un tensor de rango 1, , y por lo tanto, un tensor de rango dos también puede considerarse como una función de vectores a vectores, lo que probablemente sea relevante para la aplicación específica de tensores en Sakurai. El producto tensorial se define como el producto de las funciones
Una vez que elija una base, puede escribir los componentes del tensor
dónde se suman implícitamente. De esto se puede derivar cómo la fórmula habitual para cómo los componentes transformar bajo rotación. Como ejemplo, supongamos es de rango 2 y lo tratamos como una función de vectores a vectores; entonces podemos ver el como componentes de una matriz de 3 por 3. Si lleva un vector a , después debe llevar a , asi que .
Un operador tensorial es una colección de operadores que se transforman irreductiblemente bajo la conjugación por elementos de grupo, es decir, que satisfacen precisamente la segunda condición del OP. Los elementos individuales del conjunto son los componentes de los tensores.
La irreductibilidad no es esencial sino un requisito obvio adicional cuando se trata de grupos para los cuales las representaciones son siempre totalmente reducibles.
Esto se puede generalizar a cualquier grupo; el grupo ni siquiera necesita ser continuo. Todo lo que necesitas es una acción de grupo sobre el conjunto de componentes del operador tensorial.
No creo que la definición candidata sea sólida porque la notación implica, por analogía con la notación de los matemáticos para tensores, que es un operador que transforma trivialmente; pero claramente no se transforma trivialmente como muestra el RHS de la definición candidata. Sin embargo, hay un tensor que se transforma trivialmente bajo el grupo G. Para simplificar, considere el caso y además supongamos que los operadores tensoriales son hermitianos. Hasta ahora, los índices de los operadores hermitianos han sido suprimidos en la pregunta y respuesta; poniendo en los índices, estamos tratando con tensores ordinarios,
Una advertencia menor adicional es que las matrices de grupo no son necesariamente unitarios; si los índices son índices de espinor de Lorentz, las matrices de grupo son la representación definitoria de SL(2,C); estos son solo unitarios si la transformación de Lorentz es una rotación espacial.
Trimok
joshfísica
Pedro Kravchuk
Trimok
joshfísica