(12,12)(12,12)(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) representación de SU(2)⊗SU(2)SU(2)⊗SU(2)SU (2)\oveces SU(2)

I) En primer lugar, estamos hablando del producto directo o cartesiano$SU(2)\times SU(2)$de grupos, no el producto tensorial$^1$ $SU(2)\otimes SU(2)$de grupos

II) En segundo lugar,$SU(2)\times SU(2)$no es isomorfo al grupo de Lorentz$SO(3,1)$sino más bien a un primo compacto

En particular, un$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$irrep debajo$su(2)\oplus su(2)$corresponde a una representación vectorial fundamental de 4 dimensiones bajo$o(4)$.

III) En tercer lugar, OP podría estar pensando en el grupo complejo de Lorentz$SO(3,1;\mathbb{C})$, que tiene doble cubierta$SL(2,\mathbb{C})\times SL(2,\mathbb{C})$,

cf. esta publicación Phys.SE. En particular, un$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$irrep debajo$sl(2,\mathbb{C})\oplus sl(2,\mathbb{C})$corresponde a una representación vectorial fundamental de 4 dimensiones bajo$o(3,1;\mathbb{C})$.

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$^1$Tenga en cuenta que existen varias construcciones de productos tensoriales abelianos y no abelianos para grupos. Por ejemplo, para el grupo abeliano$(\mathbb{R}^n,+)$, el producto tensorial es$\mathbb{R}^n\otimes\mathbb{R}^m\cong \mathbb{R}^{nm}$, mientras que el producto cartesiano es$\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m\cong \mathbb{R}^{n+m}$.

El problema aquí es con la identificación de la$(A,B)$valores de una representación con espín.$A$y$B$no corresponden al giro (¡ni siquiera son hermitianos!), simplemente obedecen$SU(2)$Álgebras de mentira, y como tales se suman de la misma manera que lo hacen los giros. cuando decimos eso$A_\mu,J_\mu,p_\mu,...$están todos en el$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$representación del grupo de Lorentz queremos decir que se transforman como un cuatro vector, eso es todo. Las personas pueden volverse perezosas y decir que son objetos de giro 1, pero lo que realmente quieren decir es$(A,B)$girar 1 objetos.