Irrep correspondiente a una rotación, ¿cuál es la definición?

Ha pasado mucho tiempo desde que aprendí sobre los grupos de puntos. Pero lo intentaré.

Creo que estamos hablando de la representación matricial en la base.$(x,y,z)$, en cuyo caso son los de aspecto familiar$3\times 3$matrices de rotación. Pero no el conjunto de todos $3\times 3$matrices de rotación! Hay (como dijiste) 8 operaciones de simetría de la$C_3$tipo, que son básicamente rotaciones en sentido horario y antihorario de$120^\circ$sobre los cuatro ejes triples de un objeto con simetría tetraédrica. Cada uno de ellos puede ser representado por un$3\times 3$matriz de rotación, y las de la$z$-axis toma la forma dada en tu pregunta. Es simplemente convencional orientar el sistema de modo que$z$se encuentra a lo largo de este eje de alta simetría. No es cierto que un general $R_z$con arbitraria$\theta$corresponde a la$T$Representación irreducible: solo las matrices de rotación correspondientes a los ángulos y ejes específicos de las operaciones de simetría.

El punto clave es que el carácter de la operación viene dado por la traza de la matriz representativa en cada caso. Para el$C_3^+$y$C_3^-$operaciones sobre$z$,$\theta=\pm120^\circ=\pm2\pi/3$,$\cos\theta=-\frac{1}{2}$y se puede ver que el rastro de la matriz en su pregunta es cero, que es lo que aparece en las tablas de caracteres. Lo mismo es cierto para todas las demás matrices que representan a las otras$C_3^\pm$operaciones sobre otros ejes: aunque tienen una forma más complicada en general, tienen esta propiedad en común: la traza de una matriz de rotación siempre es $1+2\cos\theta$dónde$\theta$es el ángulo total de rotación. (De manera similar, para el$C_2$operaciones para las que las matrices de rotación corresponden a$\theta=180^\circ=\pi$,$\cos\theta=-1$, el carácter calculado a partir de la traza, es$1+2\times(-1)=-1$, y este es el número que aparece en las tablas de caracteres.)

Se aplica la matriz que representa la operación de simetría a los elementos de la base . En su pregunta, parece estar considerando aplicar la operación de rotación ($C_3$) a la matriz de rotación ($R_z$) en sí mismo, que no es cómo funcionan las cosas (con lo que quiero decir, no es útil para determinar los caracteres que aparecen en las tablas de caracteres para las diversas operaciones en el 3-dimensional$T$representación irreductible).

Como han sugerido los diversos comentaristas, estoy seguro de que hay un conocimiento general más amplio de los grupos de puntos en Chemistry StackExchange. Es fundamental para la comprensión de la simetría molecular y los orbitales atómicos en los campos de cristal, por lo que seguramente habrá mucha experiencia. Entonces, si esta respuesta no ayuda, y nadie ofrece una mejor, sin duda debería intentarlo allí. Pero espero que esto tenga algún tipo de sentido.

[Editar, siguiendo los comentarios OP]. Varios puntos para responder.

Sí, la principal característica del carácter es que es invariante a un cambio de base (transformada de semejanza) y por tanto está asociado a la traza de las matrices de transformación, que tiene esa propiedad.

no estoy de acuerdo con la terminología

tal irrep (que representa la rotación de orden más alto en el grupo)

El conjunto de matrices en su conjunto constituye la representación (para una base dada). Los subconjuntos de esas matrices corresponderán a operaciones conjugadas , es decir, operaciones pertenecientes a la misma clase : aquellas matrices de la misma clase tendrán el mismo carácter. Por lo general, involucrarán el mismo tipo de operación, pero llevada a cabo con respecto a elementos de simetría que (ellos mismos) están relacionados por una operación de simetría.

Esto significa que no es necesariamente cierto que tipos similares de operaciones realizadas con respecto a "diferente tipo de eje de rotación" tendrán el mismo carácter. Todo depende de la irrep, que a su vez está relacionada con la base: el número y tipo de funciones que están siendo interconvertidas por las transformaciones. Sólo he estado discutiendo este caso particular de la$(x,y,z)$base, en la que las matrices son las conocidas$3\times 3$matrices de rotación (porque efectivamente, somos vectores rotatorios). Para el$D_{8h}$grupo, no hay irrep. tridimensional correspondiente. Hay varios ejes dobles no equivalentes (diferentes clases), y varios irreps de una y dos dimensiones: en la tabla de caracteres, hay varios caracteres diferentes dependiendo tanto del irrep como del tipo de eje (clase). Debería mirar la matriz para ver un ejemplo simple de cada caso, para determinar el carácter.

Viniendo al grupo icosaédrico, hay un tridimensional$T_1$irrep, que transforma la base$(x,y,z)$, y por lo que puedo decir, esto se ajusta al patrón que describí anteriormente. En la página de Wikipedia, el carácter de$C_5$se da como$2\cos\theta$dónde$\theta=\pi/5$, y esto es igual a$1+2\cos 2\pi/5$(el ángulo de rotación es$2\pi/5$). Sin embargo, hay otro irrep tridimensional,$T_2$, para el cual el carácter de$C_5$es diferente. Así que esas operaciones son diferentes. Todavía son rotaciones a través de$2\pi/5$, pero los objetos que se transforman no son simples vectores . Tendría que buscar una base adecuada para este irrep, no estoy lo suficientemente familiarizado con él. En general, las matrices corresponden tanto a la operación que se realiza como a las cosas que se giran. (O, en el caso más general, reflejado, etc.).

De nuevo, espero que esto aclare un poco las cosas. No es completamente sencillo. Puede encontrar un libro útil: Aplicaciones químicas de la teoría de grupos de FA Cotton es completo, pero puede haber alternativas más actualizadas.