¿Existen representaciones irreducibles no triviales potencialmente útiles conocidas del Grupo de Lorentz O(3,1)O(3,1)O(3,1) de dimensión mayor que 4? ¿Ejemplos?

Las representaciones irreductibles del grupo de Lorentz son descritas únicamente por$(j_L,j_R)$donde ambos números pertenecen al conjunto$\{0,1/2,1,3/2,2,\dots\}$. La dimensión de la representación es simplemente

En física cuántica, nos interesan las representaciones unitarias, porque conservan la norma del espacio de Hilbert. La mayoría de las representaciones del grupo de Lorentz de interés en la física cuántica son de dimensión infinita. La razón de esto es que en el caso de grupos no compactos, la unitaridad implica una dimensionalidad infinita. Ejemplos de tales representaciones son las acciones del grupo de Lorentz en los espacios de Hilbert de soluciones de las ecuaciones de Klein-Gordon y Dirac, que son ambas de dimensión infinita. Para el caso de la ecuación de Klein gordon, consulte la ecuación (2.59) en las siguientes notas de clase de Arthur Jaffe.

Todas las representaciones unitarias irreducibles de$SO(3,1)$son necesariamente de dimensión infinita. De hecho, la clasificación en términos de$(j_R,j_L)$es realmente una clasificación de la complejización de$so(3,1)$, que es isomorfo a$su(2)\oplus su(2)$: como matrices de dimensión finita, los generadores de impulso, cuando se desenvuelven de$su(2)\oplus su(2)$, no puede convertirse en hermético simultáneamente con los generadores de$so(3)$.

Mientras que las representaciones no unitarias de dimensión finita de la complejización de$so(3,1)$todos están etiquetados por dos números reales$(j_R,j_L)$, los irreps unitarios de dimensión infinita no lo son. Mientras que las irreps siempre se etiquetan con dos números enteros, algunas representaciones con un estado fundamental se etiquetan con un número entero real que etiqueta la representación más pequeña de$so(3)$en el irrep, y un número puramente imaginario no necesariamente entero.