¿Cómo encuentro los componentes tensoriales de todos los pesos de una representación de SU(3)SU(3)SU(3), por ejemplo, la representación de seis dimensiones (2,0)(2,0)(2,0)?

el irreductible$SU(3)$representaciones de los índices de Dynkin$(n,0)$son los$n-$Potencias tensoriales simétricas de la representación fundamental.

Por lo tanto deja$e_1$,$e_2$,$e_3$ser una base ortonormal del espacio de representación fundamental, entonces

$v_{ii} = e_i \otimes e_i$

$v_{ij} = \frac{e_i \otimes e_j + e_j \otimes e_i }{\sqrt2}$,$i \ne j$

La identificación de la base de representación fundamental con los vectores de peso es la siguiente:

$e_1 = (1,0)$

$e_2 = (-1,1)$

$e_3 = (0,-1)$,

los pesos de los$(2,0)$El espacio de representación se puede obtener por inspección:

$v_{11} = (2,0)$

$v_{22} = (-2,2)$

$v_{33} = (0,-2)$

$v_{12} = (0,1)$

$v_{13} = (1,-1)$

$v_{23} = (-1,0)$

Existen muchos algoritmos para la construcción de representaciones de grupos. Una referencia excelente es el artículo seminal de Slansky : Teoría de grupos para la construcción de modelos unificados.