Vecino de función no medible todavía no medible

¿Existe una función no medible?$f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$tal que para cada función$g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$con

Estoy pensando en la función.$f$tal que$f(x)=|x|+100$para$x$en cualquier subconjunto no medible de$\mathbb{R}$y$f(x)=|x|-100$para$x$en cualquier conjunto medible de$\mathbb{R}$. Pero no sé si esto funciona o no, ya que el conjunto medible y el no medible pueden cruzarse. Gracias.

Nota: la medida aquí es la medida de Lebesgue