¿Es el conjunto de potencias un álgebra sigma?

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¿Es el conjunto de potencias un álgebra sigma?

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tu espiga

Soy un principiante en el aprendizaje del análisis real. Estoy realmente confundido acerca de algunas diapositivas/notas en línea que dicen que un conjunto de potencia debe ser un $\sigma$ - álgebra. Considere el conjunto $\mathbb{R}$ . ¿Es el conjunto de potencia $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ un $\sigma$ -¿álgebra? Si es así, ¿significa $(\mathbb{R},\mathcal{P}(\mathbb{R}))$ un espacio medible? Pero, obviamente, hay conjuntos no medibles, como el conjunto Vitali, en $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ . Entonces, ¿hay alguna contradicción?

Óliver Díaz

Un conjunto medible es un par de objetos: un conjunto

X $X$ y un

σ $\sigma$ -álgebra de subconjuntos de

X $X$ . Un conjunto de medidas es un triplete de objetos: un conjunto

X $X$ , un

σ $\sigma$ -álgebra de subconjuntos de

X $X$ , y una medida en el

σ $\sigma$ -álgebra. Entonces sí,

( X, pag( X) ) $(X,\mathcal{P}(X))$ es un espacio medible ya que

PAG( X) $\mathcal{P}(X)$ es de hecho un

σ $\sigma$ -álgebra de subconjuntos de

X $X$ .

cobre.sombrero

Como contiene todos los subconjuntos, debe ser un

σ $\sigma$ campo.

Respuestas (2)

¿Es el conjunto de potencias un álgebra sigma?

Un conjunto medible es un par de objetos: un conjunto $X$ y un $\sigma$ -álgebra de subconjuntos de $X$ . Un conjunto de medidas es un triplete de objetos: un conjunto $X$ , un $\sigma$ -álgebra de subconjuntos de $X$ , y una medida en el $\sigma$ -álgebra. Entonces sí, $(X,\mathcal{P}(X))$ es un espacio medible ya que $\mathcal{P}(X)$ es de hecho un $\sigma$ -álgebra de subconjuntos de $X$ .
Como contiene todos los subconjuntos, debe ser un $\sigma$ campo.

Hagen von Eitzen · Answer 1

es $\mathcal P(\Bbb R)$ un $\sigma$ -álgebra en $\Bbb R$ ? Sí.

En consecuencia, $(\Bbb R, \mathcal P(\Bbb R))$ un espacio medible . De hecho, existen medidas $\mu$ tal que $(\Bbb R, \mathcal P(\Bbb R),\mu)$ se convierte en un espacio de medida . Por ejemplo, la medida de conteo

$\mu(X)=\begin{cases}|X|&X\text{ is finite}\\\infty&\text{otherwise}\end{cases}$ Tenga en cuenta que la medida de conteo es pero no útil para todas las aplicaciones deseadas.

Hola Hagen, gracias por tu respuesta. ¿Significa que la medida de conteo puede asignar un volumen al conjunto Vitali? Pero veo, de Wikipedia, un conjunto no medible es un conjunto al que no se le puede asignar un "volumen" significativo.
@yutang La medida de conteo es completamente incompatible con el "volumen". Lea la definición en la respuesta de Hagen y sabrá la medida de conteo del conjunto Vitalii. Familiarmente, "conjunto medible" generalmente se refiere a la medida de Lebesgue, pero la medida de Lebesgue no es la única medida que se puede definir en $\mathbb R$ .

Óliver Díaz · Answer 2

Un espacio medible es un par de objetos: Un conjunto $X$ y un $\sigma$ -álgebra $\mathcal{F}$ de subconjunto de $X$ . ( $\mathcal{F}$ es un $\sigma$ -álgebra si (1) $\mathcal{F}$ contiene $X$ , (2) $A\in\mathcal{F}$ implica $X\setminus A\in\mathcal{F}$ , y (3) $\{A_n:n\in\mathbb{N}\}\subset\mathcal{F}$ implica $\bigcup_nA_n\in\mathcal{F}$ ).

Un espacio medible es un triplete de objetos: Un conjunto $X$ , un $\sigma$ -álgebra de subconjuntos de $X$ , y una medida $\mu$ en $\mathcal{A}$ ( $\mu$ es una medida si $\mu(A)\geq0$ para todo $A\in\mathscr{F}$ , y $\mu(\bigcup_nA_n)=\sum_n\mu(A_n)$ para todos los conjuntos contables disjuntos $\{A_n\}\subset\mathcal{F}$ )

El conjunto de potencias $\mathcal{P}(X)$ de un conjunto es claramente un $\sigma$ -álgebra; por lo tanto $(X,\mathcal{P}(X))$ es un espacio medible.

La cuestión es si hay en $(\mathbb{R}^n,\mathcal{P}(\mathbb{R}^n))$ una medida $\mu$ tal que $\mu(A+x)=\mu(A)$ para todo $x\in\mathbb{R}^n$ (traducción invariante), y $\mu((0,1]^n)>0$ .

Comenzando con casillas $\prod^n_{j=1}(a_j,b_j]$ y una función $m$ que asigna a cada casilla el número $\prod^n_{j=1}(b_j-a_j)$ es posible (la construcción de Lebesgue-Caratheodory) construir un espacio de medida $\mathcal{M}$ es subconjuntos de $\mathbb{R}^d$ con contiene las cajas, y una medida $\bar{m}$ en $\mathcal{M}$ tal que $\bar{m}(B)=m(B)$ para cualquier caja $B$ . También se puede demostrar que esta medida $\bar{m}$ es de hecho óptimo .

Bajo la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) (que es la base de las matemáticas modernas) junto con el axioma de elección (AC), se puede demostrar que no todos los conjuntos en $\mathcal{P}(\mathbb{R}^n)$ puede estar en $\mathcal{A}$ . (la construcción clásica van Vitali). Por lo tanto, bajo ZF-AC no hay una medida invariante de traducción en $\mathcal{P}(\mathbb{R}^n)$ que no sea la medida trivial $\mu\equiv0$ .

¡Hola! Creo que el segundo "espacio medible" debería ser "espacio de medida". En el segundo "espacio medible" se define $\mu$ en $\mathcal{A}$ pero nunca definir $\mathcal{A}$ (Supongo que es el $\sigma$ -álgebra). Además, tienes dos notaciones diferentes para el $\sigma$ -algebra cuando explicas que es una medida.
¿Podría explicar qué quiere decir con "... esta medida $\bar{m}$ es de hecho óptimo "? (Estoy tomando un curso sobre teoría de la medida y sonaba interesante, pero no puedo encontrar una referencia).
¡Seguro! pero eso requiere que tengas un poco de conocimiento del teorema de extensión de Carathepdory. El teorema de extensión de Caratheodory muestra que existe una medida $bar{m}$ que se extiende $m$ (coincide con $m$ en cajas). La extensión se define en un $\sigma$ -álgebra $\mathcal{M}$ que contiene las cajas. La pregunta es, ¿hay otras extensiones $\nu$ de $m$ . Parte del teorema de extensión de Caratheodory es que si $\nu$ es cualquier otra extensión de $m$ , entonces para cualquier $A$ en el $\sigma$ -álgebra generada por las cajas, $\nu(A=\mu(A)$ .

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