Subconjuntos de RR\mathbb{R} con la misma medida de Lebesgue en cualquier conjunto abierto

Estoy buscando dos juegos en$\mathbb{R}$que son a la vez incontables y densos, y donde uno es el complemento del otro. Sé que la pregunta ya se ha hecho aquí , pero las soluciones aún no me parecían del todo correctas: los decorados no parecían lo suficientemente "iguales" en$\mathbb{R}$. Entonces me di cuenta de cuál era la pregunta que realmente quería que me respondieran.

¿Hay dos subconjuntos medibles de Lebesgue de$\mathbb{R}$, uno de los cuales es el complemento del otro, que tienen la misma medida de Lebesgue en cualquier subconjunto abierto acotado de$\mathbb{R}$?

La densidad de cada conjunto en$\mathbb{R}$es así como su incontabilidad es obvia, y los conjuntos se sienten "iguales" en todas partes.