¿Cómo puedo usar el Teorema de Fubini aquí?

Question

¿Cómo puedo usar el Teorema de Fubini aquí?

Matemáticas
análisis real
teoría de la medida
teoría de probabilidad
teoremas-de-fubini-tonelli

Principiante

Ejercicio:

Si $F$ es una función de distribución continua en $(\mathbb R, \mathscr B, \mu_{\mathcal L})$ con distribución $\mu_F$ , utilice el teorema de Fubini para demostrar que

$\int_{\mathbb R} F(x) \, d\mu_F(x) = \frac{1}{2}$

si $X_1, X_2$ son variables aleatorias iid con distribución común $F$ , entonces $P(\{X_1 \leq X_2 \}) = 1/2$ y $\text E(F(X_1)) = 1/2$ .

Mi intento:

Realmente no entiendo la respuesta de bs_math, así que he estado tratando de escribir la mía. Acabo de eliminar un intento aquí que (creo) era completamente absurdo. Estoy trabajando en otro intento.

Por ejemplo, no entiendo qué está pasando en la línea 4 de la respuesta de bs_math.

bs_matemáticas

Pista: escribe

F (x)

$F(x)$ en términos de

μ_{F}

$\mu_F$

Principiante

@bs_math Tengo una definición caso por caso que indica que

\begin{aligned} F (X) = {\begin{cases} m ((0, X]) si X > 0 \\ 0 si X = 0 \\ - m ((X, 0]) si X < 0. \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align*} F(x) = \begin{cases} \mu((0, x]) \text{ if } x > 0\\ 0 \text{ if } x = 0\\ -\mu((x, 0]) \text{ if } x < 0. \end{cases} \end{align*}$ ¿Crees que esto lleva al teorema de Fubini?

Principiante

A menos que me equivoque, eso me daría dos integrales que se parecen a

\int μ_{F} ((0, x]) d μ_{f}

$\int \mu_F\big((0, x] \big) \, d\mu_f$ , y no estoy seguro de cuál es la integral de una medida con respecto a esa misma medida.

bs_matemáticas

Intentar

μ ((0, x]) = \int_{- \infty}^{x} 1 d μ_{F} (x)

$\mu((0, x]) = \int_{-\infty}^x 1 d\mu_F(x)$

Principiante

@bs_math Gracias. Ahora necesito tratar de recordar cómo se relaciona la medida con una integral de Riemann impropia.

bs_matemáticas

Si conoces la integral de Lebesgue, te recomiendo esa

Principiante

@bs_math He usado la integral de Lebesgue pero parece que necesito pensar más en cómo representar los casos en la definición de

F (x)

$F(x)$ , p.ej

μ_{F} ((0, x])

$\mu_F((0, x])$ , en términos de una integral de Lebesgue. Estoy tratando de recordar si he visto algo sobre esto en alguna parte.

Principiante

Conozco medidas inducidas por integrales de funciones medibles, pero creo que esas funciones deben ser no negativas, y no creo

F

$F$ se requiere que sea no negativo.

Respuestas (1)

¿Cómo puedo usar el Teorema de Fubini aquí?

@bs_math Tengo una definición caso por caso que indica que $\begin{aligned} F (X) = {\begin{cases} m ((0, X]) si X > 0 \\ 0 si X = 0 \\ - m ((X, 0]) si X < 0. \end{cases} \end{aligned}$ $\begin{align*} F(x) = \begin{cases} \mu((0, x]) \text{ if } x > 0\\ 0 \text{ if } x = 0\\ -\mu((x, 0]) \text{ if } x < 0. \end{cases} \end{align*}$ ¿Crees que esto lleva al teorema de Fubini?
A menos que me equivoque, eso me daría dos integrales que se parecen a $\int \mu_F\big((0, x] \big) \, d\mu_f$ , y no estoy seguro de cuál es la integral de una medida con respecto a esa misma medida.
@bs_math Gracias. Ahora necesito tratar de recordar cómo se relaciona la medida con una integral de Riemann impropia.
@bs_math He usado la integral de Lebesgue pero parece que necesito pensar más en cómo representar los casos en la definición de $F(x)$ , p.ej $\mu_F((0, x])$ , en términos de una integral de Lebesgue. Estoy tratando de recordar si he visto algo sobre esto en alguna parte.
Conozco medidas inducidas por integrales de funciones medibles, pero creo que esas funciones deben ser no negativas, y no creo $F$ se requiere que sea no negativo.

bs_matemáticas · Answer 1

La función de distribución se define generalmente como

F : X \mapsto m_{F} ((- \infty, X]),

$F: x \mapsto \mu_F((-\infty, x]),$ ver Wikipedia . El OP se basa en otra definición que establece que

\tilde{F} (X) = {\begin{cases} m_{F} ((0, X], & X > 0, \\ 0, & X = 0, \\ - m_{F} ((- X, 0], & X < 0. \end{cases}

$\tilde{F}(x) = \begin{cases} \mu_F((0, x], & x > 0, \\ 0, &x = 0, \\ - \mu_F((-x, 0], &x < 0. \end{cases}$ Entonces nosotros tenemos

\tilde{F} = F + c

$\tilde{F} = F + c$ para el sumando constante

c = - μ_{F} ((- \infty, 0])

$c = - \mu_F((-\infty, 0])$ . Nunca he visto esto como una definición de la función de distribución. El hecho de que se pueda demostrar la afirmación

\begin{matrix} (1) & \int_{R} F (X) d m_{F} (X) = \frac{1}{2} \end{matrix}

$\int_\mathbb{R} F(x) \, d\mu_F(x) = \frac{1}{2} \tag{1}$ para

F

$F$ muestra que

(1)

$(1)$ es en realidad falso tan pronto como

c \neq 0

$c \neq 0$ . Así que supongo que hay un malentendido con respecto a la definición prevista de

F

$F$ .

Ahora, para mostrar $(1)$ uso que por la misma definición de la integral de Lebesgue es

F (X) = m ((- \infty, X]) = \int_{R} 1_{(- \infty, X]} (y) d m_{F} (y) .

$F(x) = \mu((-\infty, x]) = \int_\mathbb{R} 1_{(-\infty, x]}(y) \, d\mu_F(y).$ Luego, considere las siguientes transformaciones:

\begin{aligned} \int_{R} F (X) d m_{F} (X) & = \int_{R} \int_{R} 1_{(- \infty, X]} (y) d m_{F} (y) d m_{F} (X) \\ = \int_{R} \int_{R} 1_{(- \infty, X]} (y) d m_{F} (X) d m_{F} (y) \\ = \int_{R} \int_{R} 1_{[y, \infty)} (X) d m_{F} (X) d m_{F} (y) \\ = \int_{R} 1 - F (y) d m_{F} (y) \\ (2) & = 1 - \int_{R} F (X) d m_{F} (X), \end{aligned}

$\begin{align} \int_\mathbb{R} F(x) d\mu_F(x) &= \int_{\mathbb{R}} \int_\mathbb{R} 1_{(-\infty, x]}(y) \, d\mu_F(y) \, d\mu_F(x) \\ &= \int_\mathbb{R} \int_\mathbb{R} 1_{(-\infty, x]}(y) \, d\mu_F(x) \, d\mu_F(y) \\ &= \int_\mathbb{R} \int_{\mathbb{R}} 1_{[y, \infty)}(x) \, d \mu_F(x) \, d\mu_F(y) \\ &= \int_\mathbb{R} 1 - F(y) \, d\mu_F(y) \\ &= 1 - \int_\mathbb{R} F(x) \, d \mu_F(x), \tag{2} \end{align}$ donde usamos el teorema de Fubinis en la segunda línea. Para pasar de la segunda a la tercera línea observamos para cada

x, y \in R

$x, y \in \mathbb{R}$

1_{(- \infty, X]} (y) = 1 \Leftrightarrow y \leq X \Leftrightarrow 1_{[y, \infty)} (X) = 1.

$1_{(-\infty, x]}(y) = 1 \Leftrightarrow y \leq x \Leftrightarrow 1_{[y, \infty)}(x) = 1.$ En la cuarta línea usamos eso para fijo

y

$y$ uno tiene

\begin{aligned} \int_{R} 1_{[y, \infty)} (X) d m_{F} (X) & = \int_{R} 1 - 1_{(- \infty, y)} (X) d m_{F} (X) \\ = 1 - \int_{R} 1_{(- \infty, y)} (X) d m_{F} (X) \\ = 1 - \underset{h ↘ 0}{límite} \int_{R} 1_{(- \infty, y - h]} (X) d m_{F} (X) \\ = 1 - \underset{h ↘ 0}{límite} F (y - h) \\ = 1 - F (y), \end{aligned}

$\begin{align*} \int_\mathbb{R} 1_{[y, \infty)}(x) \, d \mu_F(x) &= \int_\mathbb{R} 1 - 1_{(-\infty, y)}(x) \, d\mu_F(x) \\ &= 1 - \int_\mathbb{R} 1_{(-\infty, y)}(x) \, d\mu_F(x) \\ &= 1 - \lim_{h \searrow 0} \int_\mathbb{R} 1_{(-\infty, y - h]}(x) \, d\mu_F(x) \\ &= 1 - \lim_{h \searrow 0} F(y-h) \\ &= 1 - F(y), \end{align*}$ donde usamos el teorema de Beppo-Levi en la tercera línea.

La reclamación $(1)$ sigue inmediatamente de $(2)$ reordenando términos.

Aquí todas las integrales deben entenderse como integrales de Lebesgue.

Si tienes tiempo te agradecería una explicación de lo que has escrito. No entiendo tu primera línea. ¿Qué pasa con los tres casos para $F$ ? ¿Se puede escribir la integral interior de la primera línea como una integral de Lebesgue? ¿Por qué está bien volver a escribir la función de indicador en la línea 4? ¿Cómo se sigue la línea 5 de la línea 4 sin una densidad en el integrando? Gracias.

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