Definición equivalente de premedida

En el libro Real Analysis de Royden, define, para una colección S de subconjuntos de un conjunto X una premedida para ser una función establecida m : S → [ 0 , ∞ ] que es a la vez finitamente aditivo y contablemente monótono y si ∅ ∈ S entonces m ( ∅ ) = 0 . Un problema en el libro pide mostrar que una premedida en un álgebra sigma es una medida (donde una medida se define para satisfacer la aditividad contable).

Por lo tanto, me gustaría mostrar en última instancia que, dada una función establecida m : S → [ 0 , ∞ ] en un álgebra sigma S , que contablemente monótono y finitamente aditivo implica aditivo contable.

Tengo problemas para resolver esto. Parece equivaler a demostrar que m ( ⋃ norte = 1 ∞ mi k ) ≥ ∑ norte = 1 ∞ m ( mi k ) , ya que se cumple la desigualdad inversa debido a la monotonía contable. ¿Cómo hacer para demostrar esta desigualdad?

Respuestas (1)

Dejar mi j ser una secuencia disjunta numerable de conjuntos en S . Dejar mi = ⋃ 1 ∞ mi j . Dejar F i = ⋃ 1 i mi j . Dejar GRAMO i = mi − F i . Entonces m ( mi ) = m ( GRAMO i ∪ F i ) = m ( GRAMO i ) + ∑ j = 1 norte m ( mi j ) . Entonces sí m ( mi ) = ∞ , tenemos m ( mi ) ≤ ∑ j m ( mi j ) , entonces ∑ j m ( mi j ) = ∞ = m ( mi ) . Si m ( mi ) < ∞ , entonces m ( GRAMO i ) es una sucesión decreciente acotada por abajo por 0 , por lo que tiene un límite m ( GRAMO i ) → C . Entonces m ( mi ) = C + ∑ 1 ∞ m ( mi j ) tomando límites. Pero m ( mi ) ≤ ∑ j m ( mi j ) = m ( mi ) − C , entonces C = 0 , y ∑ j m ( mi j ) = m ( mi ) .

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