Demuestre que el conjunto de todos los números reales cuya notación decimal incluye el número 2 son borel medibles

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Demuestre que el conjunto de todos los números reales cuya notación decimal incluye el número 2 son borel medibles

conjuntos de borel
Matemáticas
análisis real
medidas borel
teoría de la medida

Erdbeer0815

Quiero mostrar que todo número real que incluye el número 2 en su notación decimal es borel medible.

Sé que cada singleton es borel medible y cada unión contable de eso es borel medible, pero hay una cantidad incontable de números reales con un 2 en ellos. No estoy seguro de cómo mostrarlo. Un conjunto $A$ es borel medible si $A \in \mathcal{A}$ el borel $\sigma$ álgebra. ¿Es posible demostrar la definición de un $\sigma$ álgebra que $A$ es cerrado bajo complementación y cerrado bajo uniones contables?

Aparte de eso, pensé en reducir el problema a los números racionales que son contables. Podría funcionar con el hecho de que $\mathbb{Q}$ son un subconjunto denso de $\mathbb{R}$ . ¿Quizás que el complemento de cada singleton (que es cerrado y borel medible) es abierto y en cada conjunto abierto con un número real también es un número racional y por lo tanto obtengo una cantidad contable de conjuntos?

Dave L Renfro

Sugerencia: Considere el conjunto de números reales cuyas expansiones decimales no contienen un

2

$2$ (y recordar datos sobre el conjunto de Cantor). Por cierto, el hecho de que algunos números reales tengan dos expansiones decimales debe manejarse en algún momento, a menos que se le haya dicho explícitamente que solo considere expansiones decimales sin terminación.

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Demuestre que el conjunto de todos los números reales cuya notación decimal incluye el número 2 son borel medibles

Sugerencia: Considere el conjunto de números reales cuyas expansiones decimales no contienen un $2$ (y recordar datos sobre el conjunto de Cantor). Por cierto, el hecho de que algunos números reales tengan dos expansiones decimales debe manejarse en algún momento, a menos que se le haya dicho explícitamente que solo considere expansiones decimales sin terminación.

adaya · Answer 1

Quiero mostrar que todo número real que incluye el número 2 en su notación decimal es borel medible.

Los números reales no pueden ser medibles. Son conjuntos de números reales que son medibles o no. Entonces la afirmación correcta sería: el conjunto de todos los números reales que incluyen el número $2$ en su notación decimal (vamos a nombrarlo $A$ ) es Borel medible.

Un conjunto $A$ es borel medible si $A \in \mathcal{A}$ el borel $\sigma$ álgebra. ¿Es posible demostrar la definición de un $\sigma$ álgebra que $A$ es cerrado bajo complementación y cerrado bajo uniones contables?

Absolutamente no. Ser cerrado bajo complementación y uniones contables es una propiedad una familia de conjuntos $\mathcal{S}$ puede tener; entonces llamamos a esa familia un $\sigma$ -álgebra. Pero $A$ es un conjunto de números reales, por lo que no tiene sentido preguntar si es cerrado bajo complementación o uniones contables.

La familia $\mathcal{A}$ de conjuntos de Borel es un $\sigma$ -álgebra y un conjunto $S$ es Borel si $S \in \mathcal{A}$ . Así que nuestro objetivo no es mostrar que $A$ es un $\sigma$ -álgebra (que no tiene sentido), pero eso $A \in \mathcal{A}$ . Usualmente lo hacemos construyendo explícitamente $A$ de conjuntos abiertos usando complementos y uniones contables.

Ahora a la pregunta: tenga en cuenta que $A$ Se puede escribir como

A = ⋃_{k \in Z} A_{k}

$A = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} A_k$

dónde $A_k$ es el conjunto de todos los números reales que tienen $2$ en su notación decimal exactamente en el lugar $k$ , es decir

A_{k} = {\pm \sum_{norte = - \infty}^{metro} a_{norte} \cdot 10^{norte} : k ⩽ metro & a_{k} = 2}

$A_k = \left\{ \pm \sum_{n=-\infty}^{m} a_n \cdot 10^n : k \leqslant m \ \& \ a_k = 2 \right\}$

dónde $a_n$ 's son los dígitos de la expansión, entonces $a_n \in \{ 0, 1, \ldots, 9 \}$ . Intenta probar que cada $A_k$ es Borel, lo que concluirá la prueba, ya que una unión contable de conjuntos de Borel es Borel.

Muchas gracias por la explicación detallada. Tengo una idea de cómo mostrar eso. $A_{k}$ es borel medible. Por ejemplo, para todos los números reales que comienzan con el número 2. Después de la coma todavía tengo todos los números reales y son como el complemento del conjunto vacío borel medible y, por lo tanto, todos los números que comienzan con un 2 son borel medibles? No estoy seguro de si esta conclusión es correcta, pero si es así, podría seguir haciendo esto para todos. $A_{k}$
Lo siento, no tiene ningún sentido. ¿Qué quiere decir con "después de la coma todavía tengo todos los números reales"? ¿Estás afirmando que $A_0$ (que es el conjunto de todos los números que tienen $2$ justo antes de la coma) es igual $\mathbb{R}$ ? Definitivamente no, ya que $5 \notin A_0$ . Te sugiero que intentes dibujar el conjunto. $A_0$ en la línea real para ver cómo se ve.
El 5 sería 2,5 y el 14 sería 2,14... puedes encontrar todos los números reales después de la coma. No estoy seguro si puedes salir de eso. Pero se me ocurrió una idea mejor. Todo límite de una sucesión en $A_{k}$ tiene un 2 en la k-ésima posición y por lo tanto es elemento de $A_{k}$ y por lo tanto cerrado.
Lo identificaste correctamente $A_k$ está cerrado (lo cual es suficiente para completar la prueba), pero eso requeriría una mejor justificación.
Pero que pasa con la secuencia 2.9, 2.99, 2.99... su limite es 3 y no en $A_{k}$ ... Mi próxima idea sería que cada número con un 2 en la k-ésima posición estaría en el intervalo $[2*10^(-k),3*10^(-k)]$ . Solo hay una cantidad contable de estos intervalos y estos intervalos (cerrados) están todos en el álgebra borel sigma, al igual que su unión contable y, por lo tanto, $A_{k}$ está en el álgebra borel sigma
el limite de $2.9$ , $2.99$ , $2.999$ , $\ldots$ es $2.9999\ldots = 3$ por lo que se puede escribir de tal manera que contenga un $2$ , por lo tanto está en $A_0$ . La siguiente idea también es buena, pero necesita ser trabajada un poco más. El número $527$ tiene un $2$ sobre el $1$ st lugar ( $7$ Está encendido $0$ th), pero $527 \notin [20, 30]$ .

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