Una función de valor real definida en un subconjunto de Borel de RR\mathbb{R} con un número contable de discontinuidades es medible por Borel

He probado la siguiente afirmación y me gustaría saber si mi prueba es correcta y/o/si/cómo se puede mejorar, gracias.

"Suponer X es un subconjunto de Borel R y F : X → R es una función tal que { X ∈ X : F  no es continua en  X } es un conjunto contable. Probar F es una función medible de Borel".

mi prueba:

( EDITAR: mi prueba es incorrecta en el caso { X ∈ X : F  no es continua en  X } es un conjunto contable (un contraejemplo, como señaló Ramiro es la función de Thomae) pero debería funcionar en el caso { X ∈ X : F  no es continua en  X } es finito )

Dejar d i , i ≥ 1 indicar los puntos en los que F es discontinuo y fijo a ∈ R ; si X ∈ X y F ( X ) > a entonces tambien X = d i para algunos i ≥ 1 o F es continua en X entonces si establecemos d X := 1 2 ⋅ inf { | X − d i | : i ≥ 1 } tenemos F ( ( X − d X , X + d X ) ∩ X ) ⊆ ( a , + ∞ ) (equivalentemente ( X − d X , X + d X ) ∩ X ⊆ F − 1 ( ( a , + ∞ ) ) ser F continua en todo este conjunto por lo que F − 1 ( ( a , + ∞ ) ) = ⋃ X ∈ F 1 ( ( a , + ∞ ) ) , X ≠ d i ∀ i ≥ 1 ( X − d X , X + d X ) ∩ X ∪ { d i : F ( d i ) > a } siendo la unión de dos conjuntos de Borel ( ( X − d X , X + d X ) es un subconjunto abierto de R así es Borel, X es un conjunto de Borel por hipótesis, por lo que su intersección también es Borel y también lo es su unión y { d i : F ( d i ) > a } es contable, por lo tanto, Borel también) es Borel. Entonces, por LEMMA, podemos concluir que F es Borel-medible, como se desee.

LEMA. Suponer ( X , S ) es un espacio medible y F : X → R es una función tal que F − 1 ( ( a , + ∞ ) ) ∈ S para todos ∈ R entonces F es un S -Función medible.

DEF. (función medible) Supongamos ( X , S ) es un espacio medible. Una función F : X → R se llama S -medible si F − 1 ( B ) ∈ S para cada juego de Borel B ⊂ R .

DEF. (Función medible por Borel) Supongamos X ⊂ R . Una función F : X → R se llama Borel medible si F − 1 ( B ) es un juego de Borel para cada juego de Borel B ⊂ R .

Respuestas (1)

De hecho, su demostración no es correcta. el problema es que d X tal vez 0 . De hecho, hay una función que es discontinua en todos los números racionales y continua en todos los números irracionales (ver aquí ).

Sin embargo, algunas ideas en su prueba están bien. Así es como se desarrollan en una prueba correcta:

Suponer X es un subconjunto de Borel R y F : X → R es una función tal que { X ∈ X : F  no es continua en  X } es un conjunto contable.

Dejar D = { X ∈ X : F  no es continua en  X } . Desde D es contable, tenemos que D es un subconjunto de Borel. Entonces mi = X ∖ D es un subconjunto de Borel y F | mi : mi → R es continuo, entonces F | mi es una función medible de Borel.

Significa que, para todos B ⊆ R tal que B es Borel medible, entonces F | mi − 1 ( B ) es Borel medible. Ahora, desde X = mi ∪ D , tenemos

F − 1 ( B ) = ( F − 1 ( B ) ∩ mi ) ∪ ( F − 1 ( B ) ∩ D ) = F | mi − 1 ( B ) ∪ ( F − 1 ( B ) ∩ D )
Lo sabemos F | mi − 1 ( B ) es Borel medible y que F − 1 ( B ) ∩ D es contable (y por lo tanto Borel medible). Resulta que F − 1 ( B ) es Borel medible.

Entonces, hemos probado que, para todos B ⊆ R tal que B es Borel medible, F − 1 ( B ) es Borel medible. Esto significa que F es una función medible de Borel.

gran respuesta, muy instructivo, gracias.
Una función de valor real definida en un subconjunto de Borel de RR\mathbb{R} con un número contable de discontinuidades es medible por Borel
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v