Prueba alternativa del teorema de la convergencia dominada aplicando el lema de Fatou a 2g−|fn−f|2g−|fn−f|2g - |f_n - f|?

Aquí hay una demostración del teorema de la convergencia dominada.

Teorema. Suponer que$f_n$son funciones medibles de valor real y$f_n(x) \to f(x)$para cada$x$. Supongamos que existe una función integrable no negativa$g$tal que$|f_n(x)| \le g(x)$para todos$x$. Entonces

$$\lim_{n \to \infty} \int f_n\,d\mu = \int f\,d\mu.$$

Prueba. Desde$f_n + g \ge 0$, por el lema de Fatou,

$$\int f + \int g = \int (f + g) \le \liminf_{n \to \infty} \int (f_n + g) = \liminf_{n \to \infty} \int f_n + \int g.$$ Desde$g$es integrable, $$\int f \le \liminf_{n \to \infty} \int f_n.\tag*{$(*)$}$$ Similarmente,$g - f_n \ge 0$, entonces $$\int g - \int f = \int (g - f) \le \liminf_{n \to \infty} \int (g - f_n) = \int g + \liminf_{n \to \infty} \int (-f_n),$$ y por lo tanto $$-\int f \le \liminf_{n \to \infty} \int (-f_n) = -\limsup_{n \to \infty} \int f_n.$$ Por lo tanto $$\int f \ge \limsup_{n \to \infty} \int f_n,$$ con el cual$(*)$demuestra el teorema. $$\tag*{$\square$}$$

Mi pregunta es la siguiente. ¿Podemos obtener otra demostración del teorema de la convergencia dominada aplicando el lema de Fatou a$2g - |f_n - f|$?