Teorema de Fubini sobre espacios de Hausdorff localmente compactos sin teoría de la medida

Suponer que$X$es un espacio de Hausdorff localmente compacto. Para una medida de radón$\mu$en$X$, dejar$I_{\mu}\colon C_{c}(X)\to\mathbb{C}$Sea el funcional lineal positivo definido por$I_{\mu}(f):=\int_{X}f \ \text{d}\mu$. El teorema de representación de Riesz implica que la asignación$\mu\mapsto I_{\mu}$implementa una correspondencia uno a uno entre las medidas (positivas) de radón en$X$y funcionales lineales positivos en$C_{c}(X)$. Entonces uno podría definir una integral en$X$como un funcional lineal positivo$I\colon C_{c}(X)\to\mathbb{C}$. Esta definición no se basa en la teoría de la medida. Me preguntaba si podríamos probar el teorema de Fubini en este contexto, es decir, sin hacer referencia a la teoría de la medida.

Más precisamente, ¿alguien sabe una prueba o referencia de la siguiente declaración sin teoría de la medida?

Dejar$I$y$J$ser funcionales lineales positivos (es decir, integrales) en espacios de Hausdorff localmente compactos$X$y$Y$, respectivamente. Para$f\in C_{c}(X\times Y)$y$y\in Y$definimos$f^{y}\colon X\to\mathbb{C}$a través de$f^{y}(x):=f(x,y)$. Para$x\in X$definimos$f_{x}\colon Y\to\mathbb{C}$similarmente. Las funciones$x\mapsto J(f_{x})$y$y\mapsto I(f^{y})$están soportados de forma compacta y

$$I(x\mapsto J(f_{x}))=J(y\mapsto I(f^{y})).$$