Débil continuidad absoluta de las medidas

Quiero mostrar que si tenemos una función F ∈ L pag tal que | | F | | pag = 1 .

Definir una nueva medida m por

m ( A ) := ∫ A | F ( X ) | pag d metro ( X ) .

Entonces ∀ ϵ > 0     ∃ d > 0 tal que se cumple la siguiente implicación:

metro ( A ) < d ⇒ m ( A ) < ϵ .

Leí algunas cosas en wikipedia y noté que esto de alguna manera está relacionado con la continuidad absoluta de las medidas, pero no sé nada al respecto. Tal vez, ¿puedes darme una pista sobre cómo mostrar esto?

Respuestas (1)

  1. Considerando | F | pag en lugar de F , podemos suponer que pag = 1 y F es no negativo.

  2. Para cada función simple s := ∑ i = 1 norte a i x B i , dónde a i son números reales no negativos y B i conjuntos medibles disjuntos, y cada conjunto medible A ,

    (*) m ( A ) = ∫ A | F − s + s | metro ( X ) ⩽ ∫ A | F − s | d metro ( X ) + ∫ A s ( X ) d metro ( X ) ⩽ ‖ F − s ‖ 1 + ( ∑ i = 1 norte a i ) metro ( A ) .

  3. Podemos concluir por ( ∗ ) por un 2 ε -argumento: tomar s tal que ‖ F − s ‖ 1 < ε ; luego definir d := ε 1 + ∑ i = 1 norte a i .

¿Es necesario suponer que la medida es σ -¿finito? Creo que probablemente lo sea.
@Frank ¿Dónde estaría? σ -la finitud juega un papel? En cualquier caso, podemos reducir el espacio de medida a { F ≠ 0 } que es una unión contable de conjuntos de medida finita.
@DavideGiraudo Tengo una pregunta. En la primera línea, quisiste decir considerar f en lugar de | F | pag , ¿bien? y según la construcción de s , suponemos que todos B i ⊂ A ? ¿Y además toma la norma ||.||_1 como una integral sobre todo el espacio de medida o simplemente A (supongo que solo A )?
yo tomo el L 1 norma en todo el espacio. El B i ′ s no están necesariamente contenidos en A . Para el primer punto, defina gramo := | F | pag .
@DavideGiraudo En ese caso no veo, como conseguiste esto metro ( A ) en la expresión (*)? ∑ i = 1 norte a i metro ( B i ) es lo que tendría allí y si hubiéramos asumido B i ⊂ A , estaría claro, pero como no lo hacemos, no veo dónde esto metro ( A ) ¿viene de?
He editado, ¿está más claro?
@DavideGiraudo, de hecho, lo es, básicamente por eso me preguntaba qué conjunto había tomado la norma. muchas gracias
De nada.
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