Variedades con Límite y Atlas Máximo

Question

Variedades con Límite y Atlas Máximo

colectores
Matemáticas
colectores suaves
geometría diferencial
variedades-con-frontera

Conocido

Estaba leyendo An Introduction to Manifolds de Tu y aprendí sobre la noción de variedades con límite. Pero había un punto que no me quedaba claro.

Aquí están las definiciones (usaré la palabra suave para indicar que es $C^{\infty}$ ):

Dados dos subconjuntos $S\subset \mathbb{R}^n, T\subset \mathbb{R}^m$ , decimos que un mapa $f:S\rightarrow T$ es suave en un punto $p$ si hay un barrio $U$ de $p$ en $\mathbb {R}^n$ y un mapa suave $\tilde{f}:U\rightarrow \mathbb{R}^m$ que está de acuerdo con $f$ en $U\cap S$ . Si $f$ es suave en cada punto de $S$ , Nosotros decimos eso $f$ es suave en $S$ . Si $f$ es biyectiva, suave en $S$ , y tiene una inversa suave, entonces $f$ se llama difeomorfismo .
Un espacio topológico $M$ se dice que es local $\mathcal{H}^n$ si cada punto en $M$ tiene un vecindario que es homeomorfo a un conjunto abierto del semiplano superior $\mathcal{H}^n:=\{(x^{1},\dots,x^{n})\in\mathbb{R}^{n}\mid x^{n}\geq0\}$ . Si $M$ es localmente $\mathcal{H}^n$ , segundo contable, espacio de Hausdorff, $M$ se llama topológico $n$ -variedad con límite .
un gráfico $(U,\phi)$ en una topología $n$ -manifold con límite $M$ es un par de un conjunto abierto $U$ de $M$ y un homeomorfismo $\phi: U\rightarrow\phi (U)\subset \mathcal{H}^n$ . Una colección $\{(U,\phi)\}$ de gráficos en $M$ se llama un $C^\infty$ atlas si la colección cubre $M$ y para cualquiera de los dos gráficos $(U,\phi)$ y $(V,\psi)$ en él, el mapa de transición
$ψ \circ ϕ^{- 1} : ϕ (tu \cap V) \to ψ (tu \cap V)$ $\psi \circ \phi ^{-1}:\phi (U\cap V)\rightarrow \psi (U\cap V)$ es un difeomorfismo. A $C^{\infty}$ atlas $\mathfrak{U}$ se dice que es máxima si no hay otra $C^{\infty}$ atlas que contiene correctamente $\mathfrak{U}$ .
Una variedad topológica con límite junto con un máximo $C^{\infty}$ atlas se llama $C^\infty$ variedad con frontera .

Es la última parte con la que estoy atascado. Para variedades sin límite, podemos demostrar que cada atlas está contenido en un atlas máximo único. Me imagino que la situación es la misma para variedades con límite, pero tengo problemas para demostrarlo debido a la definición un tanto complicada de aplicaciones suaves entre dos subconjuntos arbitrarios de espacios euclidianos. Entonces mi pregunta es:

Dado un atlas en una topología $n$ -variedad con límite, ¿podemos probar que el atlas está contenido en un único atlas máximo? Si es así, ¿por qué?

monoidoide

Para variedades sin límite, el atlas máximo que contiene un atlas dado

U

$\mathfrak{U}$ está dado por todos los gráficos compatibles con

U

$\mathfrak{U}$ . Todos ellos son compatibles entre sí por la propiedad de recubrimiento de

U

$\mathfrak{U}$ y la regla de la cadena. ¿En qué punto se rompe esto para variedades con límite?

Respuestas (1)

Variedades con Límite y Atlas Máximo

Para variedades sin límite, el atlas máximo que contiene un atlas dado $\mathfrak{U}$ está dado por todos los gráficos compatibles con $\mathfrak{U}$ . Todos ellos son compatibles entre sí por la propiedad de recubrimiento de $\mathfrak{U}$ y la regla de la cadena. ¿En qué punto se rompe esto para variedades con límite?

Conocido · Answer 1

La respuesta es positiva. El atlas máximo que contiene un atlas arbitrario se obtiene sumando todas las cartas que son compatibles con el atlas. Como señaló Gnampfissimo en el comentario, el quid del problema radica en mostrar que si dos gráficos, digamos $(V_1,\psi_1 )$ y $(V_2,\psi_2 )$ , son compatibles con un atlas $\mathfrak{U}$ , entonces $(V_1,\psi_1 )$ y $(V_2,\psi_2 )$ son compatibles entre sí. Así que tratemos de probar esto.

Dejar $p\in V_1\cap V_2$ . Nos gustaría mostrar que $\psi_2\circ\psi_1^{-1}:\psi_1(V_1\cap V_2)\rightarrow\psi_2(V_1\cap V_2)$ es suave en $\psi_1(p)$ . Para probar esto, elija un gráfico $(U,\phi )$ en $\mathfrak{U}$ eso contiene $p$ . Entonces ambos $\phi\circ\psi_1^{-1}:\psi_1(U\cap V_1)\rightarrow\phi(U\cap V_1)$ y $\psi_2\circ\phi^{-1}:\phi(U\cap V_2)\rightarrow \psi_2(U\cap V_2)$ son suaves entonces hay

barrios $O_1$ , $O_2$ de $\psi_1(p)$ y $\phi(p)$ , respectivamente, en $\mathbb{R}^n$ ,
un mapa suave $f:O_1\rightarrow\mathbb{R}^n$ que está de acuerdo con $\phi\circ\psi_1^{-1}$ en $O_1\cap\psi_1(U\cap V_1)$ , y
un mapa suave $g:O_2\rightarrow\mathbb{R}^n$ que está de acuerdo con $\psi_2\circ\phi^{-1}$ en $O_2\cap\phi(U\cap V_2)$ .

Tomando la intersección de $O_1$ con $f^{-1}(O_2)$ si es necesario, podemos suponer aquí que $O_1$ satisface $f(O_1)\subset O_2$ . Entonces $g\circ f:O_1\rightarrow \mathbb{R}^n$ es un mapa uniforme de un vecindario de $\psi_1(p)$ a $\mathbb{R}^{n}$ . Así que si podemos demostrar que $g\circ f$ está de acuerdo con $\psi_2\circ\psi_1^{-1}$ en $O_1\cap\psi_1(V_1\cap V_2)$ , entonces podemos decir que $\psi_2\circ\psi_1^{-1}:\psi_1(V_1\cap V_2)\rightarrow\psi_2(V_1\cap V_2)$ es suave en $\psi_1(p)$ , y hemos terminado.

Con seguridad, $g\circ f$ está de acuerdo con $\psi_2\circ\psi_1^{-1}$ en $O_1\cap\psi_1(U\cap V_1\cap V_2)$ . Pero ¿qué pasa en el set $\{O_1\cap \psi_1(V_1\cap V_2)\}- \{O_1\cap \psi_1(U\cap V_1\cap V_2)\}$ ? No tenemos información alguna sobre el comportamiento de $g\circ f$ en este conjunto. ¿Qué hacer?

He aquí una forma de proceder: Dado que $\psi_1(U\cap V_1 \cap V_2)$ está abierto en $\psi_1(V_1\cap V_2)$ , hay un conjunto abierto $A$ en $\mathbb{R}^n$ tal que $A\cap \psi_1(V_1\cap V_2)=\psi_1(U\cap V_1 \cap V_2)$ . Entonces nosotros tenemos

(O_{1} \cap A) \cap ψ_{1} (tu \cap V_{1} \cap V_{2}) = (O_{1} \cap A) \cap ψ_{1} (V_{1} \cap V_{2}),

$(O_1\cap A)\cap \psi_1(U\cap V_1\cap V_2)=(O_1\cap A)\cap \psi_1 (V_1\cap V_2),$ por lo que la sustitución de

O_{1}

$O_1$ por

O_{1} \cap A

$O_1\cap A$ arregla todo.

Recientemente me di cuenta de que el paso crucial del argumento anterior se puede formular de la siguiente manera: Si $A\subset \mathbb{R}^n$ (no necesariamente abierto) y $f:A\to \mathbb{R}^k$ es un mapa, entonces es suave si y solo si cada punto en $A$ tiene un barrio en $A$ tal que la restricción de $f$ en ese barrio es suave. ¿Por qué no me di cuenta de esto desde el principio?

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monoidoide

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