Demostrar condiciones suficientes para que se incrusten subvariedades sumergidas

¿Debo decir algo más para probar lo siguiente del texto de Introducción a Smooth Manifolds del profesor Lee? Gracias.

Demuestre la Proposición 5.21 (condiciones suficientes para que las subvariedades sumergidas se incrusten). Suponer METRO es una variedad uniforme con o sin límite, y S ⊆ METRO es una subvariedad sumergida. Si cualquiera de los siguientes se cumple, entonces S está incrustado.

(a) S tiene codimensión 0 en METRO .

(b) El mapa de inclusión S ⊆ METRO es apropiado

(c) S es compacto.

Prueba. Si ( a ) se cumple entonces el Teorema 4.5 (Teorema de la Función Inversa para Variedades) muestra que el mapa de inclusión yo : S ↪ METRO es un mapa abierto. El resultado se sigue de la Proposición 4.22 donde suponemos METRO y norte son variedades suaves con o sin límite, y F : METRO → norte es una inmersión suave inyectiva. Si cualquiera de los siguientes se cumple, entonces F es una incrustación suave.

(a) F es un mapa abierto o cerrado.

(b) F es un mapa adecuado.

(C) METRO es compacto

(d) METRO tiene un límite vacío y oscuro ⁡ METRO = oscuro ⁡ norte .

Respuestas (1)

La afirmación es falsa, al menos (c). Llevar F : S 1 → R 2 definido por F ( porque ⁡ θ , pecado ⁡ θ ) = ( porque ⁡ θ , pecado ⁡ 3 θ ) . Esto es una inmersión, S 1 es compacto, pero F no es una incrustación.

¿Pero esta proposición en nuestro libro de texto dice que sería una incrustación?
¿Hay alguna otra suposición como la inyectividad?
Eso sería del teorema 4.5, creo.
La definición de "subvariedad sumergida" que uso en mi libro es "un subconjunto dotado de una topología (no necesariamente la topología del subespacio) con respecto a la cual es una variedad topológica, y una estructura suave con respecto a la cual el mapa de inclusión es una inmersión suave". Así que la inyectividad es parte de la definición.
Creo que no es una definición estándar, ya que, en general, la subvariedad sumergida se refiere a la imagen de una inmersión entre dos variedades. Ahora me queda claro que lo que dices es cierto. Editaré mi respuesta cuando tenga tiempo para hacerlo.
No estoy seguro de por qué crees que no es estándar. Cuando estaba escribiendo ISM, revisé varios otros libros y descubrí que la mayoría de los libros de texto introductorios sobre geometría diferencial definen subvariedades sumergidas como imágenes de inmersiones inyectivas (o alguna definición equivalente). Algunos ejemplos son los libros de Spivak, Boothby, Jeffrey Lee, Tu y Michor. Soy consciente de que es común en la teoría de la superficie mínima hablar de subvariedades sumergidas como imágenes de inmersiones (no necesariamente inyectivas); pero yo no llamaría a eso una "definición estándar".
Puede que tengas razón. Wikipedia ( en.wikipedia.org/wiki/Submanifold#Immersed_submanifolds ) establece al principio mi definición, y luego dice que, de manera más restringida, uno puede considerar la suya.
Didier o el profesor @JackLee, ¿cuál es la definición de codimensión/dimensión de subvariedades suaves sumergidas aquí? hasta ahora solo conozco la dimensión/codimensión para variedades suaves y subvariedades incrustadas suaves
Demostrar condiciones suficientes para que se incrusten subvariedades sumergidas
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