Fibración en variedades integrales

Si la codimensión de la foliación es uno y la$M$está cerrado, entonces$M$fibras sobre$S^1$si la foliación está definida por una forma cerrada que no se desvanece. Esto se debe a Tischler, consulte https://core.ac.uk/download/pdf/82577795.pdf

No estoy seguro de si hay algunas declaraciones relacionadas en codimensión superior, aunque si hay algunas, creo que vienen con algunos requisitos adicionales.

Para foliaciones de codimensión uno también se tiene el teorema de estabilidad de Reeb, que establece que si la foliación es orientable transversalmente en una variedad compacta conexa y la foliación admite una hoja compacta$L$con un grupo de homotopía finito, entonces la foliación está dada por un haz de fibras sobre$S^1$con fibra$L$.

En general si la foliación está dada por hojas compactas con holonomía finita entonces se obtiene una estructura orbifold para el espacio foliar. Un orbifold es un espacio topológico modelado localmente por algunos$\mathbb{R}^n$módulo alguna acción de un grupo finito. Si todas las hojas compactas tienen una holonomía trivial, entonces el espacio de la hoja es en realidad una variedad. Un buen lugar para investigar esto sería, por ejemplo, el libro: Introducción a la foliación y los groupoides de Lie de Moerdijk y Mrcun.

También puede consultar: https://mathoverflow.net/questions/186788/when-does-a-leaf-space-admit-a-non-hausdorff-manifold-structure

Aquí hay otro caso donde la foliación es de hecho una inmersión. Probablemente ya conozcas este, pero vale la pena escribirlo en caso de que ayude a alguien.

Dejar$M$ser una variedad con un libre liso y propio$G-$acción. Entonces las órbitas de la acción forman una foliación.$\mathcal{F}$parametrizado por el espacio del cociente$M/G$. Por el Teorema de la Variedad del Cociente (ver el Teorema de las Variedades Suaves de Lee 21.10) el mapa$M\to M/G$realiza esta foliación como una fibración con fibra$G$tal que$B=M/G$es una variedad suave con$\dim B=\dim M-\dim G$.

Por ejemplo, dado un hamiltoniano$G-$acción sobre$(M,\omega)$una variedad simpléctica con mapa de momentos$\Phi:M\to \mathfrak{g}^*$, suponer$\mu$es un valor regular de$\Phi$y$G_\mu$actúa libre y correctamente (la propiedad es automática para compacto$G$) en$\Phi^{-1}(\mu)$.

Dejar$i_\mu:\Phi^{-1}(\mu)\to M$denota la inclusión. Se puede probar que$\ker(i_\mu^*\omega)|_p=T_p(G_\mu \cdot p)$para$p\in \Phi^{-1}(\mu)$. En particular, escribir$\sigma=i_\mu^*\omega$, desde$\iota_{[X,Y]}=\mathcal{L}_Y\iota_X\sigma -\iota_Y\mathcal{L}_X\sigma$, si$X$y$Y$son campos vectoriales valorados en la distribución$\mathcal{D}_p:=\ker(i_\mu^*\omega)|_p$, Asi es$[X,Y]$.

Por eso,$\mathcal{D}$es una distribución integrable con hojas$G_\mu \cdot p$. Resulta que$\Phi^{-1}(\mu)/G_\mu$es una variedad suave llamada reducción simpléctica de$(M,\omega)$en$\mu$.