Confusión con la definición de foliación

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Confusión con la definición de foliación

descendencia
colectores
foliaciones
Matemáticas
colectores suaves
geometría diferencial

Flecha

A continuación se muestra la definición de foliación de una variedad que aparece en el libro Introducción a las foliaciones y los grupos de mentiras de Moerdijk y Mrčun.

Definición 1. Dejar $M$ ser una variedad suave de dimensión $n$ . Un atlas de foliación de codimensión. $m$ de $M$ es un atlas
$(φ_{i} : {tu}_{i} \to R^{norte} ≅ R^{norte - metro} \times R^{metro})_{i}$ $(\varphi_i:U_i\to \mathbb R^n\cong \mathbb R^{n-m}\times \mathbb R^m)_i$ de $M$ para los cuales los difeomorfismos de cambio de gráficos $\varphi_{ij}$ son localmente de la forma $φ_{i j} (X, y) = ({gramo}_{i j} (X, y), h_{i j} (y))$ $\varphi_{ij}(x,y)=(g_{ij}(x,y),h_{ij}(y))$ con respecto a la descomposición $\mathbb R^n\cong \mathbb R^{n-m}\times \mathbb R^m$ .

Estoy confundido por esta definición.

Pregunta 1. No entiendo por qué. $h_{ij}$ no es necesario que sea la identidad, ¿no queremos el hiperplano a la altura? $y$ mapear en sí mismo?

En el libro Teoría Geométrica de las Foliaciones de Camacho y Neto, el §1 comienza considerando la sumersión habitual $\mathbb R^n\to \mathbb R^m$ y luego escribiendo:

Los difeomorfismos [...] que conservan localmente las hojas de esta foliación tienen la siguiente forma
$φ_{i j} (X, y) = ({gramo}_{i j} (X, y), h_{i j} (y)) .$ $\varphi_{ij}(x,y)=(g_{ij}(x,y),h_{ij}(y)).$

Sin embargo, la Figura 1 parece suponer $\varphi_{ij}$ mapea la línea horizontal a la altura $y$ en sí mismo, lo que haría $h_{ij}$ la identidad.

Desde una perspectiva formal, la condición razonable para preguntar parece ser la conmutatividad del triángulo con lados quebrados debajo, donde las flechas quebradas están definidas por compuestos de los triángulos obtusos.

Usar la propiedad universal de la conmutatividad del producto implica entonces $\varphi_{ij}=(g_{ij},\pi_2|_{\varphi_iU_{ij}})$ , haciendo $h_{ij}$ la identidad como se esperaba.

Dejar $(U_i)$ ser una cubierta abierta de $M$ y considere una familia de paquetes $(\begin{smallmatrix}L_i\\ \downarrow\\ U_i\end{smallmatrix})$ . Recordemos que los datos de descendencia para la familia $(\begin{smallmatrix}L_i\\ \downarrow\\ U_i\end{smallmatrix})$ consta de isomorfismos de transición $\varphi_{ij}:\begin{smallmatrix}L_j\\ \downarrow\\ U_j\end{smallmatrix}|_{U_{ij}}\cong \begin{smallmatrix}L_i\\ \downarrow\\ U_i\end{smallmatrix}|_{U_{ij}}$ satisfaciendo la condición del cociclo.

Recuérdese también la existencia de un paquete sobre $M$ tirando de vuelta a la familia $(\begin{smallmatrix}L_i\\ \downarrow\\ U_i\end{smallmatrix})$ es equivalente (al menos en el caso topológico) a la existencia de datos de descendencia para esta familia.

Parece que la definición anterior de foliación está muy relacionada con la especificación de los datos de descendencia. Además, una foliación puede verse como una biyección suave. $L\to M$ del colector de hojas, y creo que el colector de hojas quizás debería obtenerse usando la construcción de pegado habitual de paquetes usando datos de descenso.

Pregunta 2. ¿Cuáles son los datos de descendencia y la familia de paquetes aquí y cómo dan lugar a la biyección suave de la variedad de hojas? $L\to M$ ?

Agregado. Siguiendo la respuesta de Eric Wofsey, aquí está el diagrama correcto (generalmente no conmutativo).

eric wofsey

¿Qué quieres decir con "la variedad de hojas"? ¿La unión disjunta de las hojas?

Flecha

Me refería a la primera definición de foliación en Milnor's Foliations and foliated vector bundles . Sin embargo, creo que cometí un error, ya que el

L

$L$ en las notas de Milnor está en biyección con

M

$M$ , mientras que el espacio foliar es generalmente diferente, por ejemplo, para una inmersión, es el espacio de los componentes conectados de sus fibras.

Respuestas (2)

Confusión con la definición de foliación

¿Qué quieres decir con "la variedad de hojas"? ¿La unión disjunta de las hojas?
Me refería a la primera definición de foliación en Milnor's Foliations and foliated vector bundles . Sin embargo, creo que cometí un error, ya que el $L$ en las notas de Milnor está en biyección con $M$ , mientras que el espacio foliar es generalmente diferente, por ejemplo, para una inmersión, es el espacio de los componentes conectados de sus fibras.

eric wofsey · Answer 1

No, el hiperplano de altura $y$ no necesita mapearse a sí mismo. No hay un hiperplano de altura bien definido. $y$ . El conjunto de todos los hiperplanos está localmente bien definido (el hiperplano de altura $y$ debe ser enviado a algún otro hiperplano, a saber, el de altura $h_{ij}(y)$ ) pero la altura de cualquier hiperplano en particular no lo es.

En cuanto a su segunda pregunta, puede definir el espacio hoja local $L_i$ encima $U_i$ para ser simplemente la unión disjunta de los hiperplanos que componen su carta sobre $U_i$ (en otras palabras, $L_i$ es un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^{n-m}\times\mathbb{R}^m_d$ donde el $d$ indica que está considerando $\mathbb{R}^m$ como discreto, $0$ -variedad dimensional). El espacio foliar total se obtiene luego pegando todos estos espacios foliares locales a través de la $\varphi_{ij}$ . La condición de que la segunda coordenada de $\varphi_{ij}$ tiene la forma $h_{ij}(y)$ (es decir, no depende de $x$ ) garantiza exactamente que el $\varphi_{ij}$ siguen siendo difeomorfismos incluso cuando se trata de $\mathbb{R}^{n-m}\times\mathbb{R}^m_d$ en lugar de $\mathbb{R}^{n}$ .

Gracias como siempre. Con respecto al diagrama, si el vértice inferior $\mathbb R^m$ se expandieron en un difeomorfismo $h_{ij}$ de $\mathbb R^m$ , y le pedimos al cuadrado resultante con lados rotos que conmutara, entonces eso recuperaría la definición, ¿verdad?
Bueno, eso es correcto hasta el problema de que el difeomorfismo $h_{ij}$ sólo puede definirse localmente. Es decir, es un difeomorfismo entre dos subconjuntos abiertos de $\mathbb{R}^m$ , no necesariamente de todos $\mathbb{R}^m$ a todos $\mathbb{R}^m$ .
Bien. Gracias por captar eso. Entonces $h_{ij}$ sólo necesita definirse entre $\pi_2(\varphi_j(U_{ij}))$ y $\pi_2(\varphi_i(U_{ij}))$ .

Tsemo Aristide · Answer 2

No es tan complicado, puedes identificar $U_i$ con un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ en $U_i$ las hojas de la restricción de la foliación están definidas por $y=c$ dónde $c$ es una constante, son la intersección del espacio afín $y=c$ con $U_i$ , el hecho de que el cambio de coordenadas tenga el $(g_{ij}(x,y),h_{ij}(y))$ implica que conservan la restricción de la foliación a $U_i\cap U_j$ ya que la imagen de $y=c$ se envía a $h_{ij}(y)=c$ por el cambio de coordenadas, por lo que puede pegar la foliación definida en $U_i$ para definir una foliación $M$ .

No $y=c$ no tiene que estar mapeada a si misma, sino a una hoja, por ejemplo supongamos que la foliación es una foliación por puntos, el cambio de coordenadas son solo $g_{ij}(x)$ .

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