Comprender la prueba de John Lee del teorema de la homotopía de la transversalidad. ¿La restricción de un mapa suave a una coordenada no cambia el diferencial?

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Comprender la prueba de John Lee del teorema de la homotopía de la transversalidad. ¿La restricción de un mapa suave a una coordenada no cambia el diferencial?

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matemático nómada

Necesito ayuda para comprender el razonamiento final en la demostración del Teorema de Homotopía de Transversalidad (Teorema 6.36) de la Introducción a las Variedades Suaves de John Lee. Aquí, el objetivo es mostrar que el mapa suave $F: N \times S \to M$ definido por

F (pag, s) = r (F (pag) + mi (pag) s)

$F(p,s)=r(f(p)+e(p)s)$ es una inmersión suave. Así que tenemos que demostrar que para cada

(p, s) \in N \times S

$(p,s) \in N \times S$ ,

d F_{(p, s)} : T_{p} N \times T_{s} S \to T_{F (p, s)} M

$dF_{(p,s)}:T_p N \times T_s S \to T_{F(p,s)} M$ es sobreyectiva.

Lo hace diciendo que para cada $p \in N$ , la restricción de $F$ a $\{p\} \times S$ es la composición del difeomorfismo local $s \mapsto f(p)+e(p)s$ seguido por la suave inmersión $r$ , entonces $F$ es una inmersión suave.

No entiendo muy bien cómo esto prueba la sobreyectividad del diferencial de $F$ . Para considerar los diferenciales, necesitamos mirar $F$ en un barrio de $(p,s)$ , entonces, ¿por qué es suficiente restringir $F$ a $\{p\} \times S$ ?

Lo que esto parece mostrar es que para cada fijo $p$ , por el difeomorfismo $\{p\} \times S \approx S$ , si establecemos $F_p$ ser el mapa $F$ prohibido para $\{p\} \times S$ , entonces $d(F_p)_s: T_sS \to T_{F(p,s)}M$ es sobreyectiva. Pero, ¿cómo garantizamos que $d(F_p)_s = dF_{(p,s)}$ ?

Respuestas (1)

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Juan Hughes · Answer 1

Una sumersión tiene rango completo. Suponer

F : R^{k} \times R \to R^{pag}

$F : R^k \times R \to R^p$ es diferenciable y

F^{'} (a, b)

$F'(a, b)$ tiene rango

p

$p$ . Entonces

F

$F$ es una inmersión en

(a, b)

$(a, b)$ , ¿bien?

Ahora deja $G(x) = F(x, b)$ . Entonces $G$ es un mapa de $R^k \to R^p$ .

Supongamos que te digo que $G'(a)$ tiene rango $k$ . ¿Qué me puede decir sobre el rango de $F'(a, b)$ ? Bueno, es al menos el rango de $G'(a)$ porque

F^{'} (a, b) = (\begin{matrix} {GRAMO}^{'} (a) & * \\ * & * \end{matrix})

$F'(a, b) = \pmatrix{G'(a) & * \\ * & *}$ por lo menos

k

$k$ de sus columnas (las que contienen

G^{'} (a)

$G'(a)$ son linealmente independientes.

En el caso de Lee, sabemos que $G'(a)$ tiene rango $p$ (para cada elección de $b$ !). Por eso $F'(a,b)$ tiene rango $p$ para cada $(a,b)$ .

Esa es la prueba para el espacio euclidiano, pero para tu variedad, todo es localmente euclidiano, por lo que la regla de la cadena termina el argumento.

Por el argumento de la regla de la cadena, te refieres a los gráficos de coordenadas compuestos a la izquierda y a la derecha de $F$ , ¿cuáles son los difeomorfismos para preservar las dimensiones?

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Juan Hughes

matemático nómada

Juan Hughes

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