Comprender la definición de una variedad abstracta

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Comprender la definición de una variedad abstracta

colectores
definición
Matemáticas
colectores suaves
geometría diferencial

Hermí

En esta publicación escribí la definición de una variedad abstracta. Déjame repetirlo aquí:

Definición . Dejar $M$ ser espacio métrico y $\left(V_{i}\right)_{i\in I}$ ser una cubierta abierta de $M$ con conjuntos abiertos $U_i\subset\mathbb R^m$ y homeomorfismos $F_i: U_i\rightarrow V_i$ . Entonces decimos $M$ es un (abstracto) $m$ -dimensional $C^k$ variedad si para los dos conjuntos abiertos $V_1$ , $V_2\subset M$ con mapas $F_1$ y $F_2$ el mapa de transición
$F_{2}^{- 1} \circ F_{1} : F_{1}^{- 1} (V_{1} \cap V_{2}) \to F_{2}^{- 1} (V_{1} \cap V_{2})$ $F_{2}^{-1}\circ F_1: \quad F_1^{-1}(V_1 \cap V_2) \rightarrow F_{2}^{-1}(V_1\cap V_2)$ es un $C^k$ difeomorfismo.

Me di cuenta de que aún no he capturado completamente la parte con los mapas de transición. ¿Por qué exactamente es $F_{2}^{-1}\circ F_1: F_1^{-1}(V_1 \cap V_2) \rightarrow F_{2}^{-1}(V_1\cap V_2)$ y no $F_{2}^{-1}\circ F_1: U_1 \rightarrow U_2$ ? Después de todo, el dominio de $F_1$ es $U_1$ y el codominio de $F_2^{-1}$ es $U_2$ .

miguel albanés

Si

p \in U_{1}

$p \in U_1$ , por que es

F_{1} (p)

$F_1(p)$ en el dominio de

F_{2}^{- 1}

$F_2^{-1}$ ?

Hermí

Gracias. el dominio de

F_{2}^{- 1}

$F_{2}^{-1}$ es

V_{2}

$V_2$ , ¿no es así, y

F_{1} (p) \in V_{2}

$F_1(p)\in V_2$ para

p \in U_{1}

$p\in U_1$ .

cazador

+1 (y +1 a @JoseCarlosSantos por una respuesta bien escrita): mientras aprende, puede que le resulte más saludable olvidar la notación y solo pensar: si identifiqué un vecindario de un punto con

R^{n}

$\mathbb{R}^n$ de dos maneras diferentes, entonces tengo un mapa de

R^{n}

$\mathbb{R}^n$ a sí mismo y ese mapa es mejor que sea

C^{k}

$C^k$ .

miguel albanés

@Hermi: No,

F_{1} (p) \in V_{1}

$F_1(p) \in V_1$ no necesariamente

V_{2}

$V_2$ .

Respuestas (1)

Comprender la definición de una variedad abstracta

Si $p \in U_1$ , por que es $F_1(p)$ en el dominio de $F_2^{-1}$ ?
Gracias. el dominio de $F_{2}^{-1}$ es $V_2$ , ¿no es así, y $F_1(p)\in V_2$ para $p\in U_1$ .
+1 (y +1 a @JoseCarlosSantos por una respuesta bien escrita): mientras aprende, puede que le resulte más saludable olvidar la notación y solo pensar: si identifiqué un vecindario de un punto con $\mathbb{R}^n$ de dos maneras diferentes, entonces tengo un mapa de $\mathbb{R}^n$ a sí mismo y ese mapa es mejor que sea $C^k$ .

jose carlos santos · Answer 1

El mapa $F_1$ es un mapa de $U_1$ a $V_1$ . Y $F_2^{\,-1}$ es un mapa de $V_2$ a $U_2$ . Pero $F_2^{\,-1}\circ F_1$ no está definido en su totalidad $U_1$ ; $(F_2^{\,-1}\circ F_1)(x)$ solo tiene sentido para aquellos $x\in U_1$ tal que $F_1(x)$ pertenece al dominio de $F_2^{\,-2}$ . Y esto sucede exactamente cuando $x\in F_1^{\,-1}(V_1\cap V_2)$ , Eso es cuando $x$ es tal que $F_1(x)\in V_1\cap V_2$ .

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Hermí

miguel albanés

Hermí

cazador

miguel albanés

Respuestas (1)

jose carlos santos

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