Si el interior de una variedad con frontera es suave, ¿es suave toda la variedad?

Por ejemplo, puede comenzar con el$E8\oplus E8$colector$M$: Esta es una variedad cerrada simplemente conexa de 4 dimensiones con la forma de intersección isomorfa a$E8\oplus E8$. Esta variedad tiene un invariante de Kirby-Siebenmann que se desvanece$k(M)$(la firma es divisible por 16), pero no es suavizable (esto fue probado por primera vez por Donaldson). La existencia de tales variedades no es trivial: Freedman demostró que se puede realizar cualquier forma cuadrática de enteros unimodulares como la forma de intersección de una 4-variedad topológica cerrada simplemente conexa. Desde$k(M)=0$, el múltiple$M\times (0,1)$es suavizable. (Esto nuevamente no es trivial y se debe a Kirby y Siebenmann: para un$4$-colector$k(M)=0$si y solo si$M\times (0,1)$es suavizable.)

En particular, tomando$W=M\times [0,1]$obtenemos una variedad compacta de 5 dimensiones cuyo interior es suavizable pero el límite$M\sqcup M$no es.

Puede leer mucho más en el atlas múltiple .

Apéndice. Se puede decir con precisión lo que sucede para 4-variedades (cerradas) simplemente conectadas$M$que acotó 5-variedades$N$con interior alisable. Mirando el barrio del collar de$M$en$N$, vemos eso$M\times (0,1)$incrustado en$int(N)$y, por lo tanto, es suavizable. De este modo,$k(M)=0$. El tipo de homeomorfismo de$M$está entonces determinada sólo por su forma de intersección (Freedman), más precisamente, por la red $(H_2(M), Q)$dónde$Q$es la forma de intersección. La forma de intersección es unimodular (e incluso). Hay dos casos:

(a)$Q$es definitivo. Entonces, por el teorema de Donaldson,$Q$es diagonal, es decir, viene dada por el rango$r$matriz de identidad$I_r$o por$-I_r$. Esta forma$Q$se realiza por la variedad suave que es la suma conexa de$r$Copias de$CP^2$o la misma variedad con orientación opuesta.

(b)$Q$es indefinido Cada forma unimodular indefinida es la$r$-doble suma directa de formas cuadráticas hiperbólicas de rango 2. Esto se realiza mediante la suma conectada de$r$Copias de$S^2\times S^2$.

Para concluir:

$M$es suavizable si y solo si su forma de intersección es indefinida o es la forma$\pm I_r$, de rango$r$.

Una vez que elimina la conectividad simple, existen algunas obstrucciones conocidas para la fluidez (nuevamente, la forma de intersección es diagonal si es definitiva). Pero el panorama general no está del todo claro.