¿Existe una variedad compacta suave cuyos grupos de homotopía no se generan finitamente?

Si$M_1$y$M_2$esta cerrado$3$-variedades con grupo fundamental infinito, y si$M = M_1 \# M_2$es la suma conexa de$M_1$y$M_2$, entonces el grupo$\pi_2(M)$no es finitamente generado. La demostración utiliza el hecho de que$\pi_2(M)$es isomorfo a$\pi_2(\widetilde M)$, dónde$\widetilde M$es el espacio universal que cubre$M$, junto con el teorema de Hurewicz para deducir$\pi_2(\widetilde M) \approx H_2(\widetilde M)$, junto con un cálculo de ensuciarse las manos para demostrar que$H_2(\widetilde M)$no es finitamente generado.

La hipótesis sobre los grupos fundamentales de$M_1$y$M_2$puede debilitarse considerablemente, realmente las únicas situaciones a evitar son cuando uno de ellos es$S^3$y cuando los dos estan$\mathbb RP^3$.

Y por cierto,$M$tiene una estructura suave, al igual que cualquier 3-variedad cerrada.