Confusión sobre la definición de variedad con límite

Como se menciona en las respuestas y comentarios, la definición dada para un punto límite no es la correcta. Uno posible debería leer:

Un punto$p \in M$es un punto límite si es tal que$\pi_n(\phi(p))=\phi_n(p)=0$para algún gráfico$\phi:U \to \mathbb{R}^n_{+}$.

Entonces, creo, estaría dispuesto a demostrar que si esto es cierto para un gráfico$\phi: U \to \mathbb{R}^n_+$según la definición anterior, entonces es cierto para cualquier gráfico de este tipo. Como sugiere y hace referencia otra respuesta, esto no es un gran problema en la configuración suave.

Esto también es cierto en el entorno topológico, pero debido a una razón más complicada: a saber, la invariancia del teorema del dominio . No conozco una referencia que logre evitar esto.

Ahora, avanzando: De hecho, dejemos$\psi: V \to \mathbb{R}^n_+$ser otro gráfico. Lo que debemos demostrar entonces es que$\psi_n(p)=0$.

En lugar de hacer eso, probemos que si$\phi_n(p)>0$, entonces$\psi_n(p)>0$. Es fácil de ver (intercambiar lugares de$\phi$y$\psi$) que esto probará que$\phi_n(p)>0$si y solo si$\psi_n(p)>0$, concluyendo así que$\phi_n(p)=0$si y solo si$\psi_n(p)=0$.

Así, supongamos$\phi_n(p)>0$. tenemos eso$\psi \circ \phi^{-1}$es una inyección continua de$U \cap\mathbb{R}^n_+$a$\mathbb{R}^n_+$, dónde$U$es un subconjunto abierto de$\mathbb{R}^n$. restringiendo,$\psi \circ \phi^{-1}|_{U \cap \mathbb{R}^n_{>0}}: U \cap \mathbb{R}^n_{>0} \to \mathbb{R}^n$es entonces inyectiva y continua. Por invariancia de dominio, sabemos que tal imagen está abierta en$\mathbb{R}^n$. Pero esta imagen está dentro$\mathbb{R}^n_+$, por lo tanto no puede intersecar al conjunto$\{x \mid x_n=0\}$. Desde$\psi(\phi^{-1}(\phi(p)))=\psi(p)$está en tal imagen, se sigue que no puede ser tal que$\psi_n(p)=0$.

Como nota al margen que también puede ser de interés, un uso similar de la invariancia del dominio también produce que si$p$es un punto límite, entonces no hay gráfico$\phi: U \to \mathbb{R}^n$alrededor$p$(que es un homeomorfismo con$\mathbb{R}^n$).

Si$M$es una variedad con frontera,$U$es un conjunto abierto en$M$y$\varphi\colon U \to \Bbb \varphi[U]\subseteq \Bbb R^n_+$es un gráfico, se puede probar que si$p \in U$es tal que$\varphi(p) = (x^1(p),\ldots,x^{n-1}(p),0)$, Entonces sí$\widetilde{\varphi}\colon \widetilde{U} \to \widetilde{\varphi}[\widetilde{U}]\subseteq \Bbb R^n_+$es otro gráfico, entonces$\widetilde{\varphi}(p)$también tiene la forma$(\widetilde{x}^1(p),\ldots,\widetilde{x}^{n-1}(p),0)$.

Véase el Lema 24.2 en la página 205 del Análisis de variedades de Munkres .

Se trata de la existencia de al menos una vecindad de un punto$p\in M$que es homeomorfo a$\mathbb{R}^n$. Obviamente, podría tener algún otro vecindario que intersecte con el límite y sea homeomorfo a$\mathbb{R}_{+}^{n}$pero no tenemos que preocuparnos por eso. si un punto$p \in M$no tiene vecindario homeomorfo a$\mathbb{R}^n$, entonces$p \in \partial M$.