Variar una acción (teoría de la perturbación cosmológica)

Question

Variar una acción (teoría de la perturbación cosmológica)

usuario21119

Estoy atascado variando una acción, tratando de obtener una ecuación de movimiento. (Pasando de la ecuación 91 a la ecuación 92 en la imagen). Esta es la acción

S = \int d^{4} X \frac{a^{2} (t)}{2} ({\dot{h}}^{2} - (\nabla h)^{2}) .

$S~=~\int d^{4}x \frac{a^{2}(t)}{2}(\dot{h}^{2}-(\nabla h)^2).$

Y esta es la solución,

\ddot{h} + 2 \frac{\dot{a}}{a} \dot{h} - \nabla^{2} h = 0.

$\ddot{h} + 2 \frac{\dot{a}}{a}\dot{h} - \nabla^{2}h~=~0.$

esto es lo que obtengo

\partial_{0} (a^{2} \partial_{0} h) - \partial_{0} (a^{2} \nabla h) - \nabla (a^{2} \partial_{0} h) + \nabla^{2} (h a^{2}) = 0.

$\partial_{0}(a^{2}\partial_{0}h)-\partial_{0}(a^{2}\nabla h)-\nabla(a^{2}\partial_{0}h)+\nabla^{2}(ha^{2})~=~0.$

Realmente no veo mi error, tal vez me estoy perdiendo algo. (el punto representa $\partial_{0}$ )

Es este problema (ver Lectures on the Theory of Cosmological Perturbations, de Brandenburger):

ingrese la descripción de la imagen aquí

qmecanico

Comentario a la pregunta (v1): ¿Cómo se obtiene el segundo y tercer término con derivadas temporales y espaciales mixtas?

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qmecanico · Answer 1

Sugerencias:

La densidad lagrangiana en el $(+,-,-,-)$ la convención es
$L = \frac{a^{2}}{2} d_{m} h d^{m} h .$ ${\cal L}~=~\frac{a^2}{2}d_{\mu}h ~d^{\mu}h.$
La correspondiente ecuación de Euler-Lagrange (variando la acción $S[h]=\int \!d^4x ~{\cal L}$ wrt. el campo $h$ ) es
$d_{m} (a^{2} d^{m} h) = 0.$ $d_{\mu}(a^2 ~d^{\mu}h)~=~0.$
O de manera equivalente, bajo el supuesto de que $a=a(t)$ ,
$\frac{2 \dot{a} \dot{h}}{a} + d_{m} d^{m} h = 0.$ $\frac{2\dot{a}\dot{h}}{a} + d_{\mu}d^{\mu}h~=~0.$
Finalmente, Fourier transforma las tres direcciones espaciales para obtener la ec. (92).

gracias, por supuesto, solo para comprobar si la transformada de Fourier significa que uno debe sub en $h=h(t)e^{ikx}$ O es eso $h=h(t)e^{ikx}+h(t)^{*}e^{-ikx}$ ? Siempre me confundo al hacer esto, ¿cómo se simplificaría para obtener el resultado deseado?

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