Derivación de las ecuaciones de Euler-Lagrange en la "Mecánica" de Landau y Lifshitz

Dado

$$\int_{t_1}^{t_2}\textrm{d}t\,\left(\frac{\partial L}{\partial q}\,\delta q + \frac{\partial L}{\partial v}\,\delta v \right)= \int_{t_1}^{t_2}\textrm{d}t\,\left(\frac{\partial L}{\partial q}\,\delta q\right) + \int_{t_1}^{t_2}\textrm{d}t\,\left(\frac{\partial L}{\partial v}\,\frac{d}{dt}\delta q \right)$$ entonces la segunda contribución en el lado derecho se puede reescribir como $$\int_{t_1}^{t_2}\textrm{d}t\,\left(\frac{\partial L}{\partial v}\,\frac{d}{dt}\delta q \right) = \int_{t_1}^{t_2}\textrm{d}t\,\left(\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial v} \delta q\right)-\delta q\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial v} \right) \right).$$ La primera pieza se puede integrar, siendo un derivado total, y la segunda se puede agrupar junto con la primera contribución global.

PD Mi experiencia personal es que nunca he leído Landau & Lifshitz para aprender.

La integración parcial se emplea solo para el segundo término en (1):

$$\underset{{t}_{1}}{\overset{{t}_{2}}{\int }}\frac{\partial L}{\partial v}\delta v=\underset{{t}_{1}}{\overset{{t}_{2}}{\int }}\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial v}\delta q\right)dt-\underset{{t}_{1}}{\overset{{t}_{2}}{\int }}\left(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial v}\right)\delta qdt$$ El primer término sale como $$\frac{\partial L}{\partial v}\delta {q|}_{{t}_{1}}^{{t}_{2}},$$ el segundo queda debajo de la integral.