Ecuación de Euler-Lagrange con potencial logarítmico

Una partícula que se mueve hacia el origen tiene condiciones iniciales$x(t=0) = 1$y$\dot{x}(t=0)=0$.

Si el lagrangiano es

$$L:=\frac{m}{2}\dot{x}^2 -\frac{m}{2}\ln|x|$$

Esto debería satisfacer la ecuación de Euler Lagrange

$$\frac{d}{dt} (\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}) = \frac{\partial L}{\partial x}$$

Demostrar que la partícula llega al origen en$\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$.

1) está bien para comenzar, simplemente conecto y amplío el DE

$$\frac{d}{dt}[(\frac{\partial \frac{m}{2} \dot{x}^2}{\partial \dot{x}}) - \frac{\partial\frac{m}{2}ln|x|}{\partial \dot{x}}] = \frac{\partial \frac{m}{2}\dot{x}^2}{\partial x} - \frac{\partial \frac{m}{2}ln|x|}{\partial x}$$

2) desde$x(t)$y$\dot{x}(t)$son funciones del tiempo, los parciales cruzados desaparecen y me queda:

$$\frac{d}{dt}(\frac{\partial \frac{m}{2} \dot{x}^2}{\partial \dot{x}}) = - \frac{\partial \frac{m}{2}ln|x|}{\partial x}$$

Lo que se reduce a:

$$m \frac{d}{dt}(\dot{x}) = - \frac{m}{2x}$$

Esto es equivalente a:

$$\ddot{x} = - \frac{1}{2x}$$

3) Ahora separaré e Integraré (Teniendo en cuenta que la partícula parte del Reposo):

$$\dot{x} = \frac{dx}{dt} = -\frac{1}{2}ln|x|$$ $$t = -2 \int^{x}_{x_0} \frac{dx}{ln|x|}$$

Todo lo que realmente quiero saber es que hasta este punto, ¿he hecho todo correctamente? Porque siento que no lo he hecho. Ni siquiera creo que pueda integrar esto porque lo puse en wolframio y me hice un lío.