Derivación de la ecuación de campo en la teoría de Yang Mills

Question

Derivación de la ecuación de campo en la teoría de Yang Mills

acción
Física
yang-mills
formalismo lagrangiano
principio variacional
deberes-y-ejercicios

usuario44212

Tratando de mostrar que

D_{m} \vec{F^{m v}} = \partial_{m} \vec{F^{m v}} + gramo \vec{A_{m}} \times \vec{F^{m v}} = 4 π \vec{j^{v}},

$D_\mu\vec{F^{\mu \nu}} = \partial_{\mu}\vec{F^{\mu \nu}} + g \vec{A_\mu} \times \vec{F^{\mu \nu}} = 4 \pi \vec{J^\nu},$

o (corrígeme si me equivoco)

\partial_{m} F_{a}^{m v} + gramo F_{a b C} A_{m}^{b} F^{C m v} = 4 π j_{a}^{v} .

$\partial_{\mu} F^{\mu \nu}_a + g f_{abc}A_\mu^bF ^{c\mu \nu} = 4 \pi J^{\nu}_a.$

variando la acción

S = \int (\frac{- 1}{4} F_{m v}^{a} F_{a}^{m v} + j_{a}^{m} A_{m}^{a}) d^{3} X d t

$S= \int \left( \frac{-1}{4}F^a_{\mu \nu} F_a^{\mu \nu} +J_a^\mu A_\mu^a \right) d^3x dt$

Sé cómo hacer esto para E&M regular (comenzando directamente con las ecuaciones de Euler-Lagrange en realidad), pero no estoy seguro de cómo lidiar con ese término adicional que surge del operador $D_\mu$ .

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Derivación de la ecuación de campo en la teoría de Yang Mills

Trimok · Answer 1

El operador diferencial covariante $D_\mu$ es $D_\mu = \partial_\mu (Id)- ig A_\mu = \partial_\mu (Id)- ig T^a A_\mu^a$ , dónde $(Id)$ es la matriz identidad y la $T^a$ son los generadores de un álgebra de Lie.

Tienes $F_{\mu\nu} = D_\mu A_\nu - D_\nu A_\mu$ , Lo que significa que $F_{\mu\nu}$ es una cantidad covariante.

De las expresiones anteriores y las relaciones de conmutación $[T^a, T^b]=i f^{abc}T^c$ definiendo el álgebra de Lie, se obtiene la expresión de $F_{\mu\nu}^a$ :

$F_{\mu\nu}^a =\partial_\mu A_\nu^a - \partial_\nu A_\mu^a + g f^{abc}A_\mu^b A_\nu^c$ .

Ahora solo aplica las ecuaciones de Euler-Lagrange $\dfrac{\partial L}{\partial A_\nu^a} - \partial_\mu \dfrac{\partial L}{\partial (\partial_\mu A_\nu^a)}=0$ .

Si quiero escribir explícitamente $F^a_{\mu \nu} F _a^{\mu \nu}$ seria el primer termino $\left( \partial_\mu A^a_\nu - \partial_\nu A^a_\mu + g f^{abc} A^b_\mu A^c_\mu \right)$ ? ¿Qué pasa con el segundo, con índices superiores? Puedo escribir $\left( \eta^{\mu \gamma} \partial_\gamma A_{\delta a} \eta^{\delta \nu} - \eta^{\nu \rho} \partial_\rho A_{\sigma a} \eta^{\sigma \mu} + f^{abc} \eta^{\kappa \mu} A_{\kappa b} \eta^{\lambda \nu} A_{\lambda c} \right)$ ? Además, ¿es f aquí el tensor de Levi Civita? Luchando con la notación de índice, lo siento.
@ user44212: 1) Obtiene cantidades "contravariantes" $A^\mu_a$ de cantidades "covariantes" $A_{\nu a}$ utilizando el tensor métrico: $A^\mu_a = \eta^{\mu\nu}A_{\nu a}$ . 2) $f^{abc}$ es un tensor completamente antisimétrico característico del álgebra de Lie. En el caso especial donde el álgebra de Lie es $su(2)$ , $f^{abc} = \epsilon^{abc}$ , el tensor de Levi Civita $(a,b,c)$ en $(1,2,3)$

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usuario44212

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Trimok

usuario44212

Trimok

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