Invariancia de calibre lagrangiano L′=L+df(q,t)dtL′=L+df(q,t)dtL'=L+\frac{df(q,t)}{dt}

Question

Invariancia de calibre lagrangiano L′=L+df(q,t)dtL′=L+df(q,t)dtL'=L+\frac{df(q,t)}{dt}

Física
invariancia de calibre
mecanica clasica
formalismo lagrangiano
cálculo variacional
deberes-y-ejercicios

Nick A.

Entonces, tengo que probar directamente (por ejemplo, por sustitución) que si un camino satisface las ecuaciones de Euler-Lagrange para el Lagrangiano $L$ lo hace por

L^{'} = L + \frac{d F (q, t)}{d t} .

$L'=L+\frac{df(q,t)}{dt}.$ Déjame decirte lo que he hecho:

\frac{d}{d t} \frac{\partial L^{'}}{\partial \dot{q_{i}}} - \frac{\partial L^{'}}{\partial q_{i}} = (\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}} - \frac{\partial L}{\partial q_{i}}) + (\frac{d}{d t} \frac{\partial}{\partial \dot{q_{i}}} \frac{d F}{d t} - \frac{\partial}{\partial q_{i}} \frac{d F}{d t})

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L'}{\partial \dot{q_i}}-\frac{\partial L'}{\partial q_i}=(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}-\frac{\partial L}{\partial q_i})+(\frac{d}{dt}\frac{\partial}{\partial \dot{q_i}}\frac{df}{dt}-\frac{\partial}{\partial q_i}\frac{df}{dt})$

Me gustaría probar de alguna manera que el segundo paréntesis es $0$ para ello he utilizado lo siguiente:

\frac{\partial}{\partial \dot{q_{i}}} = \sum \frac{\partial q_{j}}{\partial \dot{q_{i}}} \frac{\partial}{\partial q_{j}} \Rightarrow \frac{d}{d t} \frac{\partial}{\partial \dot{q_{i}}} = \sum \frac{d}{d t} \frac{\partial q_{j}}{\partial \dot{q_{i}}} \frac{\partial}{\partial q_{j}} = \sum \frac{\partial \dot{q_{j}}}{\partial \dot{q_{i}}} \frac{\partial}{\partial q_{j}} .

$\frac{\partial}{\partial \dot{q_i}}=\sum\frac{\partial q_j}{\partial \dot{q_i}}\frac{\partial}{\partial q_j} \Rightarrow \frac{d}{dt}\frac{\partial}{\partial \dot{q_i}}=\sum \frac{d}{dt}\frac{\partial q_j}{\partial \dot{q_i}}\frac{\partial}{\partial q_j}=\sum \frac{\partial \dot{q_j}}{\partial \dot{q_i}}\frac{\partial}{\partial q_j}.$

Ahora la prueba está completa SI

\frac{\partial \dot{q_{j}}}{\partial \dot{q_{i}}} = d_{i j} .

$\frac{\partial \dot{q_j}}{\partial \dot{q_i}}=δ_{ij} .$ Sé que esto es cierto para

q_{i}, q_{j}

$q_i,q_j$ pero, ¿también es cierto para sus derivados?

ZeroTheHero

sí, también es cierto para las derivadas, en parte porque se consideran variables independientes.

qmecanico

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/174137/2451 y enlaces allí.

Respuestas (3)

Invariancia de calibre lagrangiano L′=L+df(q,t)dtL′=L+df(q,t)dtL'=L+\frac{df(q,t)}{dt}

sí, también es cierto para las derivadas, en parte porque se consideran variables independientes.
Relacionado: physics.stackexchange.com/q/174137/2451 y enlaces allí.

ZeroTheHero · Answer 1

Lo más simple es ir con

\begin{aligned} \frac{d F}{d t} & = \frac{\partial F}{\partial q} \dot{q} + \frac{\partial F}{\partial t}, \\ \frac{d}{d t} (\frac{\partial}{\partial \dot{q}} \frac{d F}{d t}) & = \frac{d}{d t} (\frac{\partial F}{\partial q}) \\ = \frac{\partial}{\partial q} (\frac{d F}{d t}) \end{aligned}

$\begin{align} \frac{df}{dt}&= \frac{\partial f}{\partial q}\dot q + \frac{\partial f}{\partial t}\, ,\\ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial }{\partial \dot{q}}\frac{df}{dt}\right)&= \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f}{\partial q} \right)\\ &= \frac{\partial }{\partial q}\left( \frac{df}{dt}\right) \end{align}$ Puede manejar el caso multivariable usted mismo.

Fratauro · Answer 2

Solo para completar, otra forma más sencilla de hacer esto es considerar que al resolver las ecuaciones de Euler-Lagrange, esencialmente está encontrando un punto estacionario de la acción. $S = \int_{t_i}^{t_f} L dt$ . En otras palabras, encuentras el camino. $q(t)$ que minimiza la acción, dado un punto final fijo $q(t_f)$ , $q(t_i)$ . Este es el procedimiento que produce las ecuaciones de Euler-Lagrange.

Habiendo dicho eso, considere entonces la acción $S' = \int_{t_i}^{t_f} dt L' = \int_{t_i}^{t_f} dt\left[ L +\frac{df}{dt}\right]$

Entonces, integrando:

S^{'} = \int_{t_{i}}^{t_{F}} d t L + [F (q, t)]_{t_{i}}^{t_{F}} = S + F (q (t_{F}), t_{F}) - F (q (t_{i}), t_{i})

$S' = \int_{t_i}^{t_f} dt L + [f(q,t)]^{t_f}_{t_i} = S+f(q(t_f),t_f)-f(q(t_i),t_i)$

Ahora, los puntos finales de la trayectoria se fijan mientras se encuentra el punto estacionario. Por lo tanto, cuando variamos $S$ , variamos la ruta, pero no los puntos finales. En otras palabras :

d S^{'} = d S + \underset{= 0}{\underset{⏟}{d (F (q (t_{F}), t_{F}) - F (q (t_{i}), t_{i}))}} \Leftrightarrow d S^{'} = d S

$\delta S' = \delta S + \underbrace{\delta\big(f(q(t_f),t_f)-f(q(t_i),t_i)\big)}_{= 0} \Leftrightarrow \delta S' = \delta S$

Por lo tanto, la variación de $S'$ y $S$ es lo mismo, por lo que proporcionan una ecuación de movimiento equivalente.

¡Gracias! Para ser honesto, me siento más cómodo usando mi cálculo vectorial familiar que las técnicas variacionales, ¡así que una respuesta en ese espíritu es muy útil!

usuario140980 · Answer 3

Estás en el camino correcto y casi has llegado a tu prueba, necesitas mirar algo llamado 'cancelación de puntos', un pequeño truco útil cuando haces Mecánica Lagrangiana. Una buena prueba la da aquí Bernhard Heijstek.

Invariancia de calibre lagrangiano L′=L+df(q,t)dtL′=L+df(q,t)dtL'=L+\frac{df(q,t)}{dt}

Nick A.

ZeroTheHero

qmecanico

Respuestas (3)

ZeroTheHero

Fratauro

Nick A.

usuario140980

Ecuación de Euler-Lagrange con potencial logarítmico

Derivación de las ecuaciones de Euler-Lagrange en la "Mecánica" de Landau y Lifshitz

Invariancia de calibre del hamiltoniano

Problema en Euler-Lagrange implica Newton

Aplicación de las ecuaciones de Euler-Lagrange (Problema trivial, instructivo)

¿Ayuda con los símbolos de Chrstoffel para el problema de mecánica geométrica?

¿Puedo encontrar una función potencial de la forma habitual si el campo central contiene ttt en su magnitud?

Una masa colgada debajo de una mesa: un problema de Goldstein [cerrado]

Ecuaciones de movimiento de una partícula libre sobre una esfera

Coordenadas curvilíneas y vectores base