Transformación de supersimetría: ¿por qué la transformada de Lagrange como derivada total?

Hay algo que no entiendo en la página 36 de estas notas de clase (Autor: Fiorenzo Bastianelli de la universidad de Bolonia, título: Integrales de ruta para fermiones y mecánica cuántica supersimétrica). Lo resumiré aquí, pero los vinculé de todos modos en caso de que alguien quiera revisarlos.

Así que estamos tratando de construir una acción supersimétrica, trabajamos en el superespacio$D=1$y$N=2$con una coordenada espaciotemporal$t$y dos coordenadas Grassman$\theta$y$\bar{\theta}$.

El generador de la traducción del tiempo es

$$H= i \frac{\partial}{\partial t}$$ Los generadores de transformación de supersimetría, que son traslaciones en las direcciones anticonmutación son $$Q= \frac{\partial}{\partial \theta} + i \bar{\theta} \frac{\partial}{\partial t}$$ y $$\bar{Q}= \frac{\partial}{\partial \bar{\theta}} + i \theta \frac{\partial}{\partial t}$$ Definimos un supercampo escalar, incluso de Grassman$X(t,\theta, \bar{\theta})$que, bajo transformación supersimétrica se transforma de esta manera $$\delta_S X(t,\theta, \bar{\theta}) = (\epsilon \bar{Q} + \bar{\epsilon} Q)\, X(t,\theta, \bar{\theta})$$

Con$\epsilon$y$\bar{\epsilon}$Parámetros de Grassmann.

Ahora definimos derivadas covariantes

$$D= \frac{\partial}{\partial \theta} - i \bar{\theta} \frac{\partial}{\partial t}$$ $$\bar{D}= \frac{\partial}{\partial \bar{\theta}} - i \theta \frac{\partial}{\partial t}$$

de modo que la derivada covariante de un supercampo sigue siendo un supercampo, lo que significa

$$\delta_S DX = (\epsilon \bar{Q} + \bar{\epsilon} Q)\, DX$$

Todos los conmutadores y anticonmutadores son nulos además de estos.

$$\{ Q,\bar{Q} \} = 2H$$ $$\{D,\bar{D}\} = -2i \partial_t$$

Ahora decimos que un Lagrangiano$L=L(X,DX,\bar{D}X)$eso depende solo implícitamente de las coordenadas del superespacio a través del supercampo y sus derivadas covariantes pueden darte una acción supersimétrica. Y esto se debe a que se transforma bajo la transformación de supersimetría como un derivado total. La forma exacta de la variación lagrangiana bajo la transformación de supersimetría es esta:

$$\delta_S L(X,DX, \bar{D}X) = (\epsilon \bar{Q} + \bar{\epsilon} Q) \, L(X,DX, \bar{D}X)$$

Ahora las cosas que no entiendo son estas dos:

1. ¿Por qué la transformación de Lagrangiana es así bajo la transformación de supersimetría? No puedo probarlo, puedo proporcionar un boceto de mi intento de resolver su transformación si se solicita, pero en realidad no es nada de lo que pienso.

2. Suponiendo que esa es la ley de transformación correcta del Lagrangiano, ¿por qué es una derivada total? Me parece que simplemente se transforma como un súper campo, pero no veo por qué es una derivada total.