Demostrar que la densidad lagrangiana LL\mathscr{L}, que genera un conjunto dado de ecuaciones de Euler-Lagrange, no es única [duplicar]

Recordemos de dónde vienen las ecuaciones de Euler Lagrange: extremizar la acción. Entonces, veamos qué le hará agregar una divergencia a la acción, que, si recuerdas, se define como una integral sobre nuestra variedad de espacio-tiempo,$\mathcal M$como

$$S[\varphi] =\int_{\mathcal M }\! \mathrm d^dr \ \mathcal L[\varphi,\nabla\varphi]$$ Agregaremos una divergencia a la densidad de Lagrange dejando $\mathcal L\rightarrow\mathcal L + \nabla\cdot f$, por lo que nuestra nueva acción es: $$\begin{align} S'[\varphi] &=\int_\mathcal M\! \mathrm d^dr \ (\mathcal L+\nabla\cdot f)\\ &=S[\varphi]+\oint_{\partial\mathcal M}\mathrm da\cdot f \end{align}$$ donde hemos usado el asombroso poder del teorema de Gauss para cambiar nuestra $4$-volumen dimensional integral sobre el espacio-tiempo, a un $3$-integral dimensional sobre el límite del espacio-tiempo, $\partial \mathcal M$. Ahora exigimos que $f$comportarse bien, en el sentido de que se desvanece en el límite. Vemos entonces que la acción no cambia, por lo que tendrá los mismos extremos que antes y, por lo tanto, las mismas ecuaciones de Euler-Lagrange.

La lección aquí es que debe tratar de hacer las cosas de manera coordinada e independiente. Entonces será más fácil completar los detalles en un sistema de coordenadas particular.