Problema al obtener ecuaciones de cuerdas a partir de la acción de Polyakov [cerrado]

Su derivación está cerca. La acción de Polyakov es

$$S[X,\gamma] = T\int d\tau\int d\sigma (-\gamma)^{1/2}\gamma^{ab}\partial_aX^\mu \partial_bX_\mu,$$ para $T = -(4\pi\alpha')^{-1}$. La variación con respecto a la cuerda. $X_\mu$luego da $$\frac{\delta S}{\delta X^\mu} = T\int d\tau\int d\sigma\left[\frac{\delta}{\delta X^\mu}\left((-\gamma)^{1/2}\gamma^{ab}\partial_aX^\mu\right) \partial_bX_\mu\right]$$ $$+ T\int d\tau\int d\sigma\left[(-\gamma)^{1/2}\gamma^{ab}\partial_aX^\mu \frac{\delta}{\delta X^\mu}\partial_bX_\mu\right],$$ El primero de ellos da $$\frac{\delta}{\delta X^\nu}\left((-\gamma)^{1/2}\gamma^{ab}\partial_aX^\mu\right) = (-\gamma)^{1/2}\nabla^2X_\nu$$ El segundo de estos es $\partial_b\delta^\mu_\nu$y evalúa el teorema del valor medio del cálculo. La variación total es entonces $$\frac{\delta S}{\delta X^\nu} = T\int d\tau\int d\sigma(-\gamma)^{1/2}\left(\nabla^2X^\mu + \partial^a X_\mu\partial_b\delta^\mu_\nu\right)$$ $$= T\int d\tau\int d\sigma(-\gamma)^{1/2}\nabla^2X^\mu - T\int d\tau(-\gamma)^{1/2}\partial^\sigma X_\mu\Big|_{\sigma=0}^{\sigma=\ell}$$